Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh

Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 2022 chữ số

tổ hợp truy hồi bài toán đếm

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 thanhng2k7

thanhng2k7

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K32 Toán , THPT Chuyên Bắc Giang
  • Sở thích:Allain

Đã gửi 18-09-2022 - 22:12

Từ các chữ số 1,2,3 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 2022 chữ số thỏa mãn mỗi chữ số xuất hiện chẵn lần. 


Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học :) :) :)


#2 Nobodyv3

Nobodyv3

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 339 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hốc bà Tó - phấn đấu làm ĐHV hậu học đại
  • Sở thích:Defective Version

Đã gửi 19-09-2022 - 00:24

Từ các chữ số 1,2,3 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 2022 chữ số thỏa mãn mỗi chữ số xuất hiện chẵn lần.

Có thể lập quan hệ truy hồi để giải, ở đây mình xin tiếp cận bài toán bằng cách dùng hàm sinh mũ:
Gọi $a_n$ là số các số có n chữ số thỏa đề bài, ta thấy :
Vì mỗi số chữ số xuất hiện chẵn lần nên ta có hàm sinh :
$A(x)=\sum_{n =0}^{\infty }a_{n}\frac{x^n}{n!}=\left ( \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \right )^{3}=\frac{1}{8}\left ( e^{3x}+e^{-3x}+3e^{2x}e^{-x}+3e^{x}e^{-2x} \right ) =\frac{1}{8}\sum_{n=0}^{\infty }\left ( 3^{n}+(-3)^n+3+3(-1)^n \right )\frac{x^n}{n!}$
Vậy :
$a_n=\frac{3^{n}+(-3)^n+3+3(-1)^n}{8}$
Hơn nữa, để thỏa mãn đề bài thì $n$ phải chẵn do đó :
$a_n=\frac{2\cdot3^{n}+6}{8}=\boxed {\frac{3^n+3}{4}}\Rightarrow a_{2022}=\frac{3^{2022}+3}{4}$
HOPE

Tá vấn tửu gia hà xứ thị,
Mục đồng giao chỉ Hạnh Hoa thôn.





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tổ hợp, truy hồi, bài toán đếm

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh