Từ các chữ số 1,2,3 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 2022 chữ số thỏa mãn mỗi chữ số xuất hiện chẵn lần.
Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 2022 chữ số
Bắt đầu bởi thanhng2k7, 18-09-2022 - 22:12
tổ hợp truy hồi bài toán đếm
#1
Đã gửi 18-09-2022 - 22:12
Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học
#2
Đã gửi 19-09-2022 - 00:24
Có thể lập quan hệ truy hồi để giải, ở đây mình xin tiếp cận bài toán bằng cách dùng hàm sinh mũ:Từ các chữ số 1,2,3 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 2022 chữ số thỏa mãn mỗi chữ số xuất hiện chẵn lần.
Gọi $a_n$ là số các số có n chữ số thỏa đề bài, ta thấy :
Vì mỗi số chữ số xuất hiện chẵn lần nên ta có hàm sinh :
$A(x)=\sum_{n =0}^{\infty }a_{n}\frac{x^n}{n!}=\left ( \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \right )^{3}=\frac{1}{8}\left ( e^{3x}+e^{-3x}+3e^{2x}e^{-x}+3e^{x}e^{-2x} \right ) =\frac{1}{8}\sum_{n=0}^{\infty }\left ( 3^{n}+(-3)^n+3+3(-1)^n \right )\frac{x^n}{n!}$
Vậy :
$a_n=\frac{3^{n}+(-3)^n+3+3(-1)^n}{8}$
Hơn nữa, để thỏa mãn đề bài thì $n$ phải chẵn do đó :
$a_n=\frac{2\cdot3^{n}+6}{8}=\boxed {\frac{3^n+3}{4}}\Rightarrow a_{2022}=\frac{3^{2022}+3}{4}$
- Nesbit, DOTOANNANG, thanhng2k7 và 1 người khác yêu thích
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tổ hợp, truy hồi, bài toán đếm
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sum_{n\vdots d,d=2k+1}\varphi (d)2^{\frac{n}{d}} \hspace{0.2cm} \vdots \hspace{0.2cm} n$Bắt đầu bởi hovutenha, 08-03-2024 tổ hợp, số học |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Toán rời rạc →
Con ếch và hạt nhânBắt đầu bởi HenryTung, 29-02-2024 xác suất, tổ hợp |
|
|||
|
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Hình học →
Hình học phẳng →
Hỏi có thể xây dựng mà mỗi phòng có đúng hai cửa hay không?Bắt đầu bởi Saturina, 16-02-2024 tổ hợp |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Toán rời rạc →
Hỏi có thể xây dựng mà mỗi phòng có đúng hai cửa hay không?Bắt đầu bởi Saturina, 16-02-2024 tổ hợp |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Toán rời rạc →
Có 8 học sinh tham gia làm một bài kiểm tra trắc nghiệm. Sau khi kiểm tra, thấy rằng hai học sinh bất kì có chung nhiều nhất một câu trả lời.Bắt đầu bởi Saturina, 16-02-2024 tổ hợp |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh