Cho dãy số nguyên dương $a_{0},a_{1},...,a_{3036}$ thỏa:
$2a_{n+2}=a_{n+1}+4a_{n}$ $n=0,1,2...,3034$.
Chứng minh có ít nhất một trong các số $a_{0},a_{1},...,a_{3036}$ chia hết cho $2^{2024}$.
Cho dãy số nguyên dương $a_{0},a_{1},...,a_{3036}$ thỏa:
$2a_{n+2}=a_{n+1}+4a_{n}$ $n=0,1,2...,3034$.
Chứng minh có ít nhất một trong các số $a_{0},a_{1},...,a_{3036}$ chia hết cho $2^{2024}$.
Cho dãy số nguyên dương $a_{0},a_{1},...,a_{3036}$ thỏa:
$2a_{n+2}=a_{n+1}+4a_{n}$ $n=0,1,2...,3034$.
Chứng minh có ít nhất một trong các số $a_{0},a_{1},...,a_{3036}$ chia hết cho $2^{2024}$.
Sau đây chứng minh quy nạp theo $m$ bài toán tổng quát sau: Cho các số nguyên dương $a_0,\ a_1,\ \dots,\ a_{3m}$ thỏa mãn
\[2a_{n+2}=a_{n+1}+4a_n,\quad \forall n=\overline{0,3m-2}.\]
Chứng minh rằng trong dãy số đã cho thì tồn tại một số là bội của $4^{m}$.
Lời giải. Giả sử bài toán đúng với $k$, ta sẽ chứng minh cho trường hợp $k+1$. Xét bộ số $a_0,\ a_1,\ \dots,\ a_{3k+3}$ thỏa giả thiết bài toán, tức là
$$\left\{\begin{matrix}2a_2=a_1+4a_0\\ \vdots\\ 2a_{3k+2}=a_{3k+1}+4a_{3k}\\ 2a_{3k+3}=a_{3k+2}+4a_{3k+1}\end{matrix}\right.$$
Từ hệ này ta thấy rằng
$$2\mid a_{3k+2}\implies 4\mid a_{3k+1}\implies 4\mid a_{3k}\implies \dots\implies 4\mid a_1.$$
Đặt $a_i=4b_i$ với $i=\overline{1,3k+1}$ thì ta có
\[2b_{n+2}=b_{n+1}+4b_n,\quad \forall n=\overline{1,3k-1}.\]
Do vậy bộ số $b_1,\ \dots,\ b_{3k},\ b_{3k+1}$ thỏa giả thiết bài toán nên theo giả thiết quy nạp thì tồn tại $b_i$ sao cho $4^k\mid b_i$. Khi đó $4^{k+1}\mid 4b_i=a_i$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 26-10-2022 - 15:28
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh