Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh có ít nhất một trong các số $a_{0},a_{1},...,a_{3036}$ chia hết cho $2^{2024}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Math04

Math04

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 120 Bài viết

Cho dãy số nguyên dương $a_{0},a_{1},...,a_{3036}$ thỏa:

$2a_{n+2}=a_{n+1}+4a_{n}$ $n=0,1,2...,3034$.

Chứng minh có ít nhất một trong các số $a_{0},a_{1},...,a_{3036}$ chia hết cho $2^{2024}$.



#2
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

Cho dãy số nguyên dương $a_{0},a_{1},...,a_{3036}$ thỏa:

$2a_{n+2}=a_{n+1}+4a_{n}$ $n=0,1,2...,3034$.

Chứng minh có ít nhất một trong các số $a_{0},a_{1},...,a_{3036}$ chia hết cho $2^{2024}$.

Sau đây chứng minh quy nạp theo $m$ bài toán tổng quát sau: Cho các số nguyên dương $a_0,\ a_1,\ \dots,\ a_{3m}$ thỏa mãn

\[2a_{n+2}=a_{n+1}+4a_n,\quad \forall n=\overline{0,3m-2}.\]

Chứng minh rằng trong dãy số đã cho thì tồn tại một số là bội của $4^{m}$.

 

Lời giải. Giả sử bài toán đúng với $k$, ta sẽ chứng minh cho trường hợp $k+1$. Xét bộ số $a_0,\ a_1,\ \dots,\ a_{3k+3}$ thỏa giả thiết bài toán, tức là

$$\left\{\begin{matrix}2a_2=a_1+4a_0\\ \vdots\\ 2a_{3k+2}=a_{3k+1}+4a_{3k}\\ 2a_{3k+3}=a_{3k+2}+4a_{3k+1}\end{matrix}\right.$$

Từ hệ này ta thấy rằng 

$$2\mid a_{3k+2}\implies 4\mid a_{3k+1}\implies 4\mid a_{3k}\implies \dots\implies 4\mid a_1.$$

Đặt $a_i=4b_i$ với $i=\overline{1,3k+1}$ thì ta có

\[2b_{n+2}=b_{n+1}+4b_n,\quad \forall n=\overline{1,3k-1}.\]

Do vậy bộ số $b_1,\ \dots,\ b_{3k},\ b_{3k+1}$ thỏa giả thiết bài toán nên theo giả thiết quy nạp thì tồn tại $b_i$ sao cho $4^k\mid b_i$. Khi đó $4^{k+1}\mid 4b_i=a_i$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 26-10-2022 - 15:28

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh