Chủ đề này có 1 trả lời

[Math04]

Cho dãy số $\left\{\begin{matrix} a_{0}=1,a_{1}=13& & \\ a_{n+2}=14a_{n+1}-a_{n} & & \end{matrix}\right.$ Chứng minh với mỗi số tự nhiên $n$, tồn tại các số tự nhiên $k,l$ sao cho $a_{n}=k^2+(k+1)^2$, $a_{n}^2=(l+1)^3-l^3$.

 

[chuyenndu]

ở đây mình sẽ cm quy nạp $a_n=k_n^2+(k_n+1)^2$

tìm được $k_0=0,k_1=2,k_2=9,k_3=15,k_4=132$ nên dãy $(k_n)$ thỏa mãn $k_{n+2}=4k_{n+1}-k_n+1$

thay vào $a_{n+2}=14a_{n+1}-a_n$ thì cần chứng minh

$2k_{n+2}^2+2k_{n+2}+1=14(2k_{n+1}^2+2k_{n+1}+1)-(2k_n^2+2k_n+1)\iff k_{n+1}^2+k_n^2=4k_{n+1}k_n+k_{n+1}+k_n+2$

hệ thức cuối cm được bằng quy nạp luôn

 

$a_n^2=(l_n+1)^3-l_n^3$ tương tự với $l_{n+2}=14l_{n+1}-l_n+6$, chú ý là

$(a_{n+2}+a_n)^2=(14a_n)^2\iff a_{n+2}^2+a_n^2+2(a_{n+1}^2+12)=196a_{n+1}^2$