Đến nội dung


Chú ý

Nếu không nhận được email từ diễn đàn, bạn hãy kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org".


Hình ảnh

Chứng minh với mỗi số tự nhiên $n$, tồn tại các số tự nhiên $k,l$ sao cho $a_{n}=k^2+(k+1)^2$, $a_{n}^2=(l+1)^3-l^3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Math04

Math04

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết

Đã gửi 19-09-2022 - 23:49

Cho dãy số $\left\{\begin{matrix} a_{0}=1,a_{1}=13& & \\ a_{n+2}=14a_{n+1}-a_{n} & & \end{matrix}\right.$ Chứng minh với mỗi số tự nhiên $n$, tồn tại các số tự nhiên $k,l$ sao cho $a_{n}=k^2+(k+1)^2$, $a_{n}^2=(l+1)^3-l^3$.

 



#2 chuyenndu

chuyenndu

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 27 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-10-2022 - 05:30

ở đây mình sẽ cm quy nạp $a_n=k_n^2+(k_n+1)^2$

tìm được $k_0=0,k_1=2,k_2=9,k_3=15,k_4=132$ nên dãy $(k_n)$ thỏa mãn $k_{n+2}=4k_{n+1}-k_n+1$

thay vào $a_{n+2}=14a_{n+1}-a_n$ thì cần chứng minh

$2k_{n+2}^2+2k_{n+2}+1=14(2k_{n+1}^2+2k_{n+1}+1)-(2k_n^2+2k_n+1)\iff k_{n+1}^2+k_n^2=4k_{n+1}k_n+k_{n+1}+k_n+2$

hệ thức cuối cm được bằng quy nạp luôn

 

$a_n^2=(l_n+1)^3-l_n^3$ tương tự với $l_{n+2}=14l_{n+1}-l_n+6$, chú ý là

$(a_{n+2}+a_n)^2=(14a_n)^2\iff a_{n+2}^2+a_n^2+2(a_{n+1}^2+12)=196a_{n+1}^2$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh