Đến nội dung


Chú ý

Nếu không nhận được email từ diễn đàn, bạn hãy kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org".


Hình ảnh
- - - - -

Tồn tại $f$ sao cho $\lim_{a\to 0} \int_a^1 f(x)dx$ tồn tại nhưng $\lim_{a\to 0} \int_a^1 |f(x)|dx$ không tồn tại


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản trị
  • 2251 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-09-2022 - 20:31

Chứng minh tồn tại hàm số $f:(0,1]\to\mathbb{R}$ khả tích trên $[a,1]$ với mọi $a>0$ sao cho

$\lim_{a\to 0} \int_a^1 f(x)dx$ tồn tại nhưng $\lim_{a\to 0} \int_a^1 |f(x)|dx$ không tồn tại.


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#2 vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 656 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN

Đã gửi 20-09-2022 - 21:15

Chứng minh tồn tại hàm số $f:(0,1]\to\mathbb{R}$ khả tích trên $[a,1]$ với mọi $a>0$ sao cho

$\lim_{a\to 0} \int_a^1 f(x)dx$ tồn tại nhưng $\lim_{a\to 0} \int_a^1 |f(x)|dx$ không tồn tại.

Lâu ngày không động đến mấy cái này nên em cũng chưa nghĩ ra được phản ví dụ nào cho hội tụ có điều kiện kiểu này. Nếu là tính phân suy rộng loại I thì có ví dụ đó là $\int_{1}^{\infty}\dfrac{\sin{x}}{x}dx$. Có lẽ bằng một phép đổi biến có thể đưa tích phân này về tính phân suy rộng loại 2.
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 21-09-2022 - 10:00

$\sum_{P} I(P, F\cap G)=mn$

 

"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#3 Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản trị
  • 2251 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-09-2022 - 22:21

Lâu ngày không động đến mấy cái này nên em cũng chưa nghĩ ra được phản ví dụ nào cho hội tụ có điều kiện kiểu này. Nếu là tính phân suy rộng loại I thì có ví dụ đó là $\int_{0}^{\infty}\dfrac{\sin{x}}{x}dx$. Có lẽ bằng một phép đổi biến có thể đưa tích phân này về tính phân suy rộng loại 2.
 

Định nghĩa loại 1 loại 2 chính xác là thế nào ấy em nhỉ? Tích phân ở trên có vẻ thuộc cả hai vì cận dưới cũng là limit nốt (hoặc có thể em nhầm $1$ thành $0$).


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#4 vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 656 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN

Đã gửi 21-09-2022 - 10:16

Định nghĩa loại 1 loại 2 chính xác là thế nào ấy em nhỉ? Tích phân ở trên có vẻ thuộc cả hai vì cận dưới cũng là limit nốt (hoặc có thể em nhầm $1$ thành $0$).

Vâng em viết nhầm ạ, phải là 1. Tích phân suy rộng loại I là tích phân có cận vô cùng, còn tích phân suy rộng loại II là tích phân trên khoảng hữu hạn mà hàm có điểm kỳ dị trên khoảng này ạ.

 

Nếu dùng phép đổi biến $t=1/x$ thì tích phân $\int_{1}^{\infty}\dfrac{\sin{x}}{x}dx$ trở thành $\int_{0}^{1}\dfrac{\sin{(1/t)}}{t}dt$, nên có thể chọn $f(x)=\dfrac{\sin{(1/x)}}{x}$ cho câu hỏi ban đầu của anh. Một điều em thấy hơi lạ là trong các sách giải tích em đọc thì có rất ít ví dụ về tích phân suy rộng loại II.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 21-09-2022 - 10:16

$\sum_{P} I(P, F\cap G)=mn$

 

"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#5 Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản trị
  • 2251 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-09-2022 - 20:24

Vâng em viết nhầm ạ, phải là 1. Tích phân suy rộng loại I là tích phân có cận vô cùng, còn tích phân suy rộng loại II là tích phân trên khoảng hữu hạn mà hàm có điểm kỳ dị trên khoảng này ạ.

Anh check thì thấy đúng như vậy nhưng nhìn lại thấy cận dưới của em là $0$ nên mới hỏi lại để xác minh. Cách phân loại này anh cũng từng đọc trong sách nhưng không bao giờ nhớ nổi, và cũng không hiểu tại sao lại phân ra như vậy. Đối với anh thì hai kiểu này không có gì khác nhau, nhưng có thể anh bỏ sót điều gì đó chăng?

 

Nếu dùng phép đổi biến $t=1/x$ thì tích phân $\int_{1}^{\infty}\dfrac{\sin{x}}{x}dx$ trở thành $\int_{0}^{1}\dfrac{\sin{(1/t)}}{t}dt$, nên có thể chọn $f(x)=\dfrac{\sin{(1/x)}}{x}$ cho câu hỏi ban đầu của anh. Một điều em thấy hơi lạ là trong các sách giải tích em đọc thì có rất ít ví dụ về tích phân suy rộng loại II.

Đúng là nếu đổi cận thành $1$ thì kết quả ra rất đẹp khi đổi biến. Ví dụ này anh cũng có biết trước khi đăng bài.

 

Về ý tưởng để giải bài này, thì một cách tự nhiên ta sẽ cố gắng tìm $f$ sao cho $\int |f|$ không bị chặn, đồng thời $f$ đổi dấu liên tục trên $(0, 1]$ để hi vọng khi lấy tích phân của $f$ thì các khoảng sẽ triệt tiêu lẫn nhau. Ví dụ mà vutuanhien đưa ra ở trên cũng là một hàm đổi dấu liên tục như vậy. Nesbit tìm được một ví dụ khác như sau (với $n\ge 1$):

\begin{equation}f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x},&\mbox{nếu } x\in\left(\frac{1}{2n+1},\frac{1}{2n}\right] \\
-\frac{1}{x},&\mbox{nếu } x\in\left(\frac{1}{2n},\frac{1}{2n-1}\right] \end{cases}.\end{equation}

 

(Trên thực tế thì ví dụ trên không phải mình mò ra ngay mà được chọn ra từ một kết quả tổng quát hơn, mai sẽ đăng tiếp vì bây giờ phải off mất rồi.)


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#6 vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 656 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN

Đã gửi 22-09-2022 - 09:49

Anh check thì thấy đúng như vậy nhưng nhìn lại thấy cận dưới của em là $0$ nên mới hỏi lại để xác minh. Cách phân loại này anh cũng từng đọc trong sách nhưng không bao giờ nhớ nổi, và cũng không hiểu tại sao lại phân ra như vậy. Đối với anh thì hai kiểu này không có gì khác nhau, nhưng có thể anh bỏ sót điều gì đó chăng?

 

Đúng là nếu đổi cận thành $1$ thì kết quả ra rất đẹp khi đổi biến. Ví dụ này anh cũng có biết trước khi đăng bài.

 

Về ý tưởng để giải bài này, thì một cách tự nhiên ta sẽ cố gắng tìm $f$ sao cho $\int |f|$ không bị chặn, đồng thời $f$ đổi dấu liên tục trên $(0, 1]$ để hi vọng khi lấy tích phân của $f$ thì các khoảng sẽ triệt tiêu lẫn nhau. Ví dụ mà vutuanhien đưa ra ở trên cũng là một hàm đổi dấu liên tục như vậy. Nesbit tìm được một ví dụ khác như sau (với $n\ge 1$):

\begin{equation}f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x},&\mbox{nếu } x\in\left(\frac{1}{2n+1},\frac{1}{2n}\right] \\
-\frac{1}{x},&\mbox{nếu } x\in\left(\frac{1}{2n},\frac{1}{2n-1}\right] \end{cases}.\end{equation}

 

(Trên thực tế thì ví dụ trên không phải mình mò ra ngay mà được chọn ra từ một kết quả tổng quát hơn, mai sẽ đăng tiếp vì bây giờ phải off mất rồi.)

Lúc đầu em cũng có nghĩ đến các hàm $1/x^{\alpha}$ vì tích phân của các hàm này đã biết rõ sự hội tụ. Em cũng nghĩ phải cho $f$ đổi dấu, nhưng quả thật là không nghĩ đến ví dụ của anh vì nghĩ trong đầu rằng tích phân của $1/x$ không hội tụ chứ không nghĩ khi cho đổi dấu thì chúng sẽ triệt tiêu.


$\sum_{P} I(P, F\cap G)=mn$

 

"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#7 Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản trị
  • 2251 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-09-2022 - 19:33

Lưu ý là với một hàm cụ thể nếu tốc độ đổi dấu không đúng thì cũng không thể làm cho tích phân hội tụ được. Ví dụ như hàm $1/x$ nếu cho đổi dấu chậm quá thì cũng không hội tụ, chẳng hạn thay $\left(\frac{1}{2n+1},\frac{1}{2n}\right]$ bằng $\left(\frac{1}{2^{2n+1}},\frac{1}{2^{2n}}\right]$.

 

Sau đây là kết quả tổng quát hơn mà Nesbit nhắc tới hôm trước. Ý tưởng là chia đoạn $(0,1]$ ra nhiều đoạn nhỏ bằng một dãy số nào đó, rồi cho $f$ đổi dấu liên tục trên các đoạn đó.

 

Mệnh đề. Cho $(c_n)$ là một dãy số giảm từ $1$ tới $0$ (tức là $c_1 = 1$ và $c_n\searrow 0$). Cho $F$ là một hàm tăng và khả vi trên $(0,1]$ sao cho $F(c_n) - F(c_{n+1}) \searrow 0$, đồng thời $\lim_{x\to 0} F(x)$ không tồn tại (hoặc bằng vô cùng). Khi đó hàm số sau khả tích trên $[0,1]$ nhưng không khả tích tuyệt đối trên $[0,1]$:

\begin{equation}f(x) = \begin{cases} F'(x),&\mbox{nếu } x\in (c_{2n+1},c_{2n}] \\  -F'(x),&\mbox{nếu } x\in (c_{2n},c_{2n-1}] \end{cases}.\end{equation}

 

Chứng minh cũng rất đơn giản, cứ cộng các tích phân trên từng đoạn nhỏ là ra. Có kết quả này rồi thì ta cứ lấy một dãy $(c_n)$ tiến đến $0$ (ví dụ $c_n=1/n$ ở trên kia), sau đó tìm hàm $F$ thoả mãn điều kiện.


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh