Cho các số thực $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2$. CMR
$2\leq a^{3}+b^{3}+c^{3}+abc\leq 2\sqrt{2}$
Cho a,b,c ko âm thỏa $a^2+b^2+c^2=2$, tìm min và max của $A=a^3+b^3+c^3+abc$
#1
Đã gửi 21-09-2022 - 23:37
- ThienDuc1101 yêu thích
#2
Đã gửi 22-09-2022 - 19:01
$P=a^{3}+b^{3}+c^{3}+abc=a^{3}+9(b+c)(b^{2}+c^{2}-bc)+abc=bc.a-bc(b+c)+a^{3}+(b+c)(2-a^{2})$
$\rightarrow f(bc)=bc(a-b-c)+a^{3}+(b+c)(2-a^{2})$
Vì hàm f(bc) luôn đồng biến hoặc nghịch biến nên cực trị đạt tại 2 đầu mút là $bc=0$ hoặc $ bc=1$ do ($0\leq bc\leq 1$ )
+) TH1: $bc=0$ $\Rightarrow$ $b=0$ hoặc $c=0$
Do vai trò b,c như nhau $\rightarrow$ giả sử $c=0$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}=2 & \\ P=a^{3}+b^{3} & \end{matrix}\right.$$\Rightarrow P=a^{3}+(2-a^{2})\sqrt{2-a^{2}}$
Xét hàm $f(a)=a^{3}+(2-a^{2})\sqrt{2-a^{2}}$ ; ( với $0\leq a\leq \sqrt{2}$ )
$\rightarrow f'(a)=3a(2-\sqrt{2-a^{2}})$
$f'(a)=0 \Leftrightarrow a=0$ hoặc $ a=1$
BBT:
- a 0 1 $\sqrt{2}$
- f'(a) 0 0 /
- f(a) $2\sqrt{2} \rightarrow 2\rightarrow 2\sqrt{2}$
Từ đó suy ra đpcm
+) TH2: $bc=1$$\rightarrow a=0$
Giải tương tự như TH1
P/s: Cách làm của Kiên
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Tuan Canhh: 23-09-2022 - 19:07
- ThienDuc1101 yêu thích
Dư Hấu
#3
Đã gửi 23-09-2022 - 19:07
$P=a^{3}+b^{3}+c^{3}+abc=a^{3}+9(b+c)(b^{2}+c^{2}-bc)+abc=bc.a-bc(b+c)+a^{3}+(b+c)(2-a^{2})$
$\rightarrow f(bc)=bc(a-b-c)+a^{3}+(b+c)(2-a^{2})$
Vì hàm f(bc) luôn đồng biến hoặc nghịch biến nên cực trị đạt tại 2 đầu mút là $bc=0$ hoặc$ bc=1$ do ($0\leq bc\leq 1$ )
+) TH1: $bc=0$ $\Rightarrow$ $b=0$ hoặc $c=0$
Do vai trò b,c nhưu nhau $\rightarrow$ giả sử $c=0$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}=2 & \\ P=a^{3}+b^{3} & \end{matrix}\right.$$\Rightarrow P=a^{3}+(2-a^{2})\sqrt{2-a^{2}}$
Xét hàm $f(a)=a^{3}+(2-a^{2})\sqrt{2-a^{2}}$ ; ( với $0\leq a\leq \sqrt{2}$ )
$\rightarrow f'(a)=3a(2-\sqrt{2-a^{2}})$
$f'(a)=0 \Leftrightarrow a=0$ hoặc $ a=1$
BBT:
- a 0 1 $\sqrt{2}$
- f'(a) 0 0 /
- f(a) $2\sqrt{2} \rightarrow 2\rightarrow 2\sqrt{2}$
Từ đó suy ra đpcm
+) TH2: $bc=1$$\rightarrow a=0$
Giải tương tự như TH1
P/s: Cách làm của Kiên
Ai cho em hỏi là mình có thể xét hàm f(bc ) với bc là biến và phần còn lại là tham số để xét hàm được không ? Mà trong tham số đó lại có chứa b và c
Dư Hấu
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh