Đến nội dung


Chú ý

Nếu không nhận được email từ diễn đàn, bạn hãy kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org".


Hình ảnh

Cho a,b,c ko âm thỏa $a^2+b^2+c^2=2$, tìm min và max của $A=a^3+b^3+c^3+abc$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Sangnguyen3

Sangnguyen3

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Folotino

Đã gửi 21-09-2022 - 23:37

Cho các số thực $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2$. CMR 
$2\leq a^{3}+b^{3}+c^{3}+abc\leq 2\sqrt{2}$



#2 Le Tuan Canhh

Le Tuan Canhh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:lang thang mọi nẻo đường

Đã gửi 22-09-2022 - 19:01

$P=a^{3}+b^{3}+c^{3}+abc=a^{3}+9(b+c)(b^{2}+c^{2}-bc)+abc=bc.a-bc(b+c)+a^{3}+(b+c)(2-a^{2})$

$\rightarrow f(bc)=bc(a-b-c)+a^{3}+(b+c)(2-a^{2})$

Vì hàm f(bc) luôn đồng biến hoặc nghịch biến nên cực trị đạt tại 2 đầu mút là $bc=0$ hoặc $ bc=1$ do ($0\leq bc\leq 1$ )

+) TH1: $bc=0$ $\Rightarrow$ $b=0$ hoặc $c=0$

Do vai trò b,c như nhau $\rightarrow$ giả sử $c=0$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}=2 & \\ P=a^{3}+b^{3} & \end{matrix}\right.$$\Rightarrow P=a^{3}+(2-a^{2})\sqrt{2-a^{2}}$

Xét hàm $f(a)=a^{3}+(2-a^{2})\sqrt{2-a^{2}}$  ; ( với $0\leq a\leq \sqrt{2}$ )

$\rightarrow f'(a)=3a(2-\sqrt{2-a^{2}})$

$f'(a)=0 \Leftrightarrow a=0$ hoặc $ a=1$

BBT:

  • a       0            1        $\sqrt{2}$
  • f'(a)   0            0            /
  • f(a)   $2\sqrt{2} \rightarrow 2\rightarrow 2\sqrt{2}$

Từ đó suy ra đpcm

+) TH2: $bc=1$$\rightarrow a=0$

Giải tương tự như TH1 

 

P/s: Cách làm của Kiên  :luoi:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Tuan Canhh: 23-09-2022 - 19:07

Dư :unsure: Hấu   


#3 Le Tuan Canhh

Le Tuan Canhh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:lang thang mọi nẻo đường

Đã gửi 23-09-2022 - 19:07

$P=a^{3}+b^{3}+c^{3}+abc=a^{3}+9(b+c)(b^{2}+c^{2}-bc)+abc=bc.a-bc(b+c)+a^{3}+(b+c)(2-a^{2})$

$\rightarrow f(bc)=bc(a-b-c)+a^{3}+(b+c)(2-a^{2})$

Vì hàm f(bc) luôn đồng biến hoặc nghịch biến nên cực trị đạt tại 2 đầu mút là $bc=0$ hoặc$ bc=1$ do ($0\leq bc\leq 1$ )

+) TH1: $bc=0$ $\Rightarrow$ $b=0$ hoặc $c=0$

Do vai trò b,c nhưu nhau $\rightarrow$ giả sử $c=0$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}=2 & \\ P=a^{3}+b^{3} & \end{matrix}\right.$$\Rightarrow P=a^{3}+(2-a^{2})\sqrt{2-a^{2}}$

Xét hàm $f(a)=a^{3}+(2-a^{2})\sqrt{2-a^{2}}$  ; ( với $0\leq a\leq \sqrt{2}$ )

$\rightarrow f'(a)=3a(2-\sqrt{2-a^{2}})$

$f'(a)=0 \Leftrightarrow a=0$ hoặc $ a=1$

BBT:

  • a       0            1        $\sqrt{2}$
  • f'(a)   0            0            /
  • f(a)   $2\sqrt{2} \rightarrow 2\rightarrow 2\sqrt{2}$

Từ đó suy ra đpcm

+) TH2: $bc=1$$\rightarrow a=0$

Giải tương tự như TH1 

 

P/s: Cách làm của Kiên  :luoi:

Ai cho em hỏi là mình có thể xét hàm f(bc ) với bc là biến và phần còn lại là tham số để xét hàm được không ? Mà trong tham số đó lại có chứa b và c 


Dư :unsure: Hấu   





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh