Đến nội dung


Hình ảnh

Cho a,b,c ko âm thỏa $a^2+b^2+c^2=2$, tìm min và max của $A=a^3+b^3+c^3+abc$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Sangnguyen3

Sangnguyen3

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 101 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Folotino

Đã gửi 21-09-2022 - 23:37

Cho các số thực $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2$. CMR 
$2\leq a^{3}+b^{3}+c^{3}+abc\leq 2\sqrt{2}$



#2 Le Tuan Canhh

Le Tuan Canhh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 130 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:lang thang mọi nẻo đường

Đã gửi 22-09-2022 - 19:01

$P=a^{3}+b^{3}+c^{3}+abc=a^{3}+9(b+c)(b^{2}+c^{2}-bc)+abc=bc.a-bc(b+c)+a^{3}+(b+c)(2-a^{2})$

$\rightarrow f(bc)=bc(a-b-c)+a^{3}+(b+c)(2-a^{2})$

Vì hàm f(bc) luôn đồng biến hoặc nghịch biến nên cực trị đạt tại 2 đầu mút là $bc=0$ hoặc $ bc=1$ do ($0\leq bc\leq 1$ )

+) TH1: $bc=0$ $\Rightarrow$ $b=0$ hoặc $c=0$

Do vai trò b,c như nhau $\rightarrow$ giả sử $c=0$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}=2 & \\ P=a^{3}+b^{3} & \end{matrix}\right.$$\Rightarrow P=a^{3}+(2-a^{2})\sqrt{2-a^{2}}$

Xét hàm $f(a)=a^{3}+(2-a^{2})\sqrt{2-a^{2}}$  ; ( với $0\leq a\leq \sqrt{2}$ )

$\rightarrow f'(a)=3a(2-\sqrt{2-a^{2}})$

$f'(a)=0 \Leftrightarrow a=0$ hoặc $ a=1$

BBT:

  • a       0            1        $\sqrt{2}$
  • f'(a)   0            0            /
  • f(a)   $2\sqrt{2} \rightarrow 2\rightarrow 2\sqrt{2}$

Từ đó suy ra đpcm

+) TH2: $bc=1$$\rightarrow a=0$

Giải tương tự như TH1 

 

P/s: Cách làm của Kiên  :luoi:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Tuan Canhh: 23-09-2022 - 19:07

Dư :unsure: Hấu   


#3 Le Tuan Canhh

Le Tuan Canhh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 130 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:lang thang mọi nẻo đường

Đã gửi 23-09-2022 - 19:07

$P=a^{3}+b^{3}+c^{3}+abc=a^{3}+9(b+c)(b^{2}+c^{2}-bc)+abc=bc.a-bc(b+c)+a^{3}+(b+c)(2-a^{2})$

$\rightarrow f(bc)=bc(a-b-c)+a^{3}+(b+c)(2-a^{2})$

Vì hàm f(bc) luôn đồng biến hoặc nghịch biến nên cực trị đạt tại 2 đầu mút là $bc=0$ hoặc$ bc=1$ do ($0\leq bc\leq 1$ )

+) TH1: $bc=0$ $\Rightarrow$ $b=0$ hoặc $c=0$

Do vai trò b,c nhưu nhau $\rightarrow$ giả sử $c=0$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}=2 & \\ P=a^{3}+b^{3} & \end{matrix}\right.$$\Rightarrow P=a^{3}+(2-a^{2})\sqrt{2-a^{2}}$

Xét hàm $f(a)=a^{3}+(2-a^{2})\sqrt{2-a^{2}}$  ; ( với $0\leq a\leq \sqrt{2}$ )

$\rightarrow f'(a)=3a(2-\sqrt{2-a^{2}})$

$f'(a)=0 \Leftrightarrow a=0$ hoặc $ a=1$

BBT:

  • a       0            1        $\sqrt{2}$
  • f'(a)   0            0            /
  • f(a)   $2\sqrt{2} \rightarrow 2\rightarrow 2\sqrt{2}$

Từ đó suy ra đpcm

+) TH2: $bc=1$$\rightarrow a=0$

Giải tương tự như TH1 

 

P/s: Cách làm của Kiên  :luoi:

Ai cho em hỏi là mình có thể xét hàm f(bc ) với bc là biến và phần còn lại là tham số để xét hàm được không ? Mà trong tham số đó lại có chứa b và c 


Dư :unsure: Hấu   





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh