Đến nội dung


Chú ý

Nếu không nhận được email từ diễn đàn, bạn hãy kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org".


Hình ảnh

Trung điểm của HM thuộc đường tròn Euler


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 UserNguyenHaiMinh

UserNguyenHaiMinh

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 44 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-09-2022 - 19:50

Bài 1. Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp là 0, Chứng minh với mọi điểm M thuộc (O) thì trung điểm của HM thuộc đường tròn Euler.

Bài 2. Cho tam giác ABC, P là một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu của P trên các đường thẳng BC,AC,AB. Chứng minh rằng D,E,F cùng thuộc một đường thẳng. (Đường thẳng Simson ứng với P của tam giác ABC).



#2 thanhng2k7

thanhng2k7

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K32 Toán , THPT Chuyên Bắc Giang
  • Sở thích:Allain

Đã gửi 22-09-2022 - 22:04

Bài 2 :

Ta có $\widehat{BDP}=\widehat{BFP}=90^{\circ}  \Rightarrow \widehat{BDP}+\widehat{BFP}=180^{\circ}$ nên $BDPF$ nội tiếp 

$\Rightarrow \widehat{BDF}=\widehat{BPF}$ 

Tương tự $DEPC$ nội tiếp nên $\widehat{EDC}=\widehat{EPC}$ 

Mặt khác $ABPC$ nội tiếp nên $\widehat{FBP}=\widehat{ECP}$ 

$\Leftrightarrow \widehat{FPB}=\widehat{EPC}$

Suy ra $\widehat{BDF}=\widehat{EDC}$

Do đó D,E,F thẳng hàng 


Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học :) :) :)


#3 thanhng2k7

thanhng2k7

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K32 Toán , THPT Chuyên Bắc Giang
  • Sở thích:Allain

Đã gửi 22-09-2022 - 22:49

Câu 1 

Lấy D,E,F,I  lần lượt là trung điểm của HA,HB,HC,HM

Ta có : EF là đường trung bình của tam giác HBC 

Suy ra $\widehat{HFE}= \widehat{HCB }$ (1)

IF là đường trung bình của tam giác HCM nên $\widehat{HFI}=\widehat{HCM}$ (2)

Lấy (2) trừ (1) ta được $\widehat{BCM}=\widehat{EFI}$

Lại có DE là đường trung bình tam giác ABH nên $\widehat{EDH}=\widehat{BAH}$ (3) 

Mà DI là đường trung bình tam giác AHM nên $\widehat{HDI}=\widehat{HAM}$ (4)

Lấy (3) cộng (4) ta được $\widehat{EDI}=\widehat{BAM}$ 

Mà $\widehat{BAM}=\widehat{BCM}$ (cùng chắn cung BM )

 Nên $\widehat{EDI}=\widehat{EFI}$

Hay DEIF nội tiếp 

Do đó I thuộc đường tròn (DEF)

Kết hợp với đường tròn Euler đi qua trung điểm của HA,HB,HC với H là trực tâm ta được đpcm 


Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học :) :) :)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh