Đến nội dung


Hình ảnh

Trung điểm của HM thuộc đường tròn Euler


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 UserNguyenHaiMinh

UserNguyenHaiMinh

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 44 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-09-2022 - 19:50

Bài 1. Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp là 0, Chứng minh với mọi điểm M thuộc (O) thì trung điểm của HM thuộc đường tròn Euler.

Bài 2. Cho tam giác ABC, P là một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu của P trên các đường thẳng BC,AC,AB. Chứng minh rằng D,E,F cùng thuộc một đường thẳng. (Đường thẳng Simson ứng với P của tam giác ABC).



#2 thanhng2k7

thanhng2k7

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 45 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K32 Toán , THPT Chuyên Bắc Giang
  • Sở thích:Allain

Đã gửi 22-09-2022 - 22:04

Bài 2 :

Ta có $\widehat{BDP}=\widehat{BFP}=90^{\circ}  \Rightarrow \widehat{BDP}+\widehat{BFP}=180^{\circ}$ nên $BDPF$ nội tiếp 

$\Rightarrow \widehat{BDF}=\widehat{BPF}$ 

Tương tự $DEPC$ nội tiếp nên $\widehat{EDC}=\widehat{EPC}$ 

Mặt khác $ABPC$ nội tiếp nên $\widehat{FBP}=\widehat{ECP}$ 

$\Leftrightarrow \widehat{FPB}=\widehat{EPC}$

Suy ra $\widehat{BDF}=\widehat{EDC}$

Do đó D,E,F thẳng hàng 


Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học :) :) :)


#3 thanhng2k7

thanhng2k7

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 45 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K32 Toán , THPT Chuyên Bắc Giang
  • Sở thích:Allain

Đã gửi 22-09-2022 - 22:49

Câu 1 

Lấy D,E,F,I  lần lượt là trung điểm của HA,HB,HC,HM

Ta có : EF là đường trung bình của tam giác HBC 

Suy ra $\widehat{HFE}= \widehat{HCB }$ (1)

IF là đường trung bình của tam giác HCM nên $\widehat{HFI}=\widehat{HCM}$ (2)

Lấy (2) trừ (1) ta được $\widehat{BCM}=\widehat{EFI}$

Lại có DE là đường trung bình tam giác ABH nên $\widehat{EDH}=\widehat{BAH}$ (3) 

Mà DI là đường trung bình tam giác AHM nên $\widehat{HDI}=\widehat{HAM}$ (4)

Lấy (3) cộng (4) ta được $\widehat{EDI}=\widehat{BAM}$ 

Mà $\widehat{BAM}=\widehat{BCM}$ (cùng chắn cung BM )

 Nên $\widehat{EDI}=\widehat{EFI}$

Hay DEIF nội tiếp 

Do đó I thuộc đường tròn (DEF)

Kết hợp với đường tròn Euler đi qua trung điểm của HA,HB,HC với H là trực tâm ta được đpcm 


Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học :) :) :)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh