Đến nội dung


Hình ảnh

Cho các số nguyên dương $m, n$ thỏa mãn $m+n+1$ là một ước nguyên tố của $2(m^2 + n^2)-1$. Chứng minh rằng $m=n$

số học số nguyên tố

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Matthew James

Matthew James

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 16 Bài viết

Đã gửi 22-09-2022 - 21:54

Cho các số nguyên dương $m, n$ thỏa mãn $m+n+1$ là một ước nguyên tố của $2(m^2 + n^2)-1$. Chứng minh rằng $m=n$



#2 thanhng2k7

thanhng2k7

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K32 Toán , THPT Chuyên Bắc Giang
  • Sở thích:Allain

Đã gửi 22-09-2022 - 22:33

Ta có $2(m^{2}+n^{2})-1= (m+n)^{2}+(m-n)^{2}-1=(m+n-1)(m+n+1)+(m-n)^{2}$

Do $m+n-1$ là ước nguyên tố của $2(m^{2}+n^{2})-1$ nên

$m+n-1 | (m-n)^{2}$

$\Rightarrow m+n-1 | m-n$

+) Nếu $m-n \geq m+n-1$ thì $0\geq 2n-1\geq 1$ ( vô lí ) 

$\Rightarrow m+n-1 > m-n$

Mà $m+n-1 | m-n$

Nên $ m-n=0 $ ( $m+n-1 \geq 1 $ )

Hay $m=n$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhng2k7: 22-09-2022 - 22:53

Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học :) :) :)






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học, số nguyên tố

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh