Cho các số nguyên dương $m, n$ thỏa mãn $m+n+1$ là một ước nguyên tố của $2(m^2 + n^2)-1$. Chứng minh rằng $m=n$
Cho các số nguyên dương $m, n$ thỏa mãn $m+n+1$ là một ước nguyên tố của $2(m^2 + n^2)-1$. Chứng minh rằng $m=n$
Bắt đầu bởi Matthew James, 22-09-2022 - 21:54
số học số nguyên tố
#1
Đã gửi 22-09-2022 - 21:54
- thanhng2k7 và ThienDuc1101 thích
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty.
#2
Đã gửi 22-09-2022 - 22:33
Ta có $2(m^{2}+n^{2})-1= (m+n)^{2}+(m-n)^{2}-1=(m+n-1)(m+n+1)+(m-n)^{2}$
Do $m+n-1$ là ước nguyên tố của $2(m^{2}+n^{2})-1$ nên
$m+n-1 | (m-n)^{2}$
$\Rightarrow m+n-1 | m-n$
+) Nếu $m-n \geq m+n-1$ thì $0\geq 2n-1\geq 1$ ( vô lí )
$\Rightarrow m+n-1 > m-n$
Mà $m+n-1 | m-n$
Nên $ m-n=0 $ ( $m+n-1 \geq 1 $ )
Hay $m=n$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhng2k7: 22-09-2022 - 22:53
- perfectstrong, ThienDuc1101 và Matthew James thích
Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học, số nguyên tố
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sum_{n\vdots d,d=2k+1}\varphi (d)2^{\frac{n}{d}} \hspace{0.2cm} \vdots \hspace{0.2cm} n$Bắt đầu bởi hovutenha, 08-03-2024 tổ hợp, số học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$f(a)-f(b) \vdots a-b$Bắt đầu bởi Sa is very stupid and lazy, 17-01-2024 số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$x^n+n \vdots p^m$Bắt đầu bởi trinhgiahuy2008, 15-01-2024 số học |
|
3 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh