(Thi chuyên toán KHTN 2017) Tìm các số nguyên tố $p,q$ thỏa mãn $p(p-1)=q(q^2-1)$
(Thi chuyên toán KHTN 2017) Tìm các số nguyên tố $p,q$ thỏa mãn $p(p-1)=q(q^2-1)$
#1
Đã gửi 22-09-2022 - 21:58
- thanhng2k7 và ThienDuc1101 thích
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty.
#2
Đã gửi 22-09-2022 - 22:24
+) Nếu $p=q$ thì $p-1=q^{2}-1$ suy ra hoặc $p=q=0$ hoặc $p=q=1$ ( vô lí do p,q nguyên tố )
Suy ra $p\neq q$ , do p , q nguyên tố nên $p-1 \vdots q$ và $q^{2}-1 \vdots p$
$\Rightarrow \exists m,n \epsilon \mathbb{N}^{*}$ sao cho $p-1=mq$ và $q^{2}-1=np$
Thay vào đề bài ta đc $m=n$
Do đó $p-1=mq$ và $q^{2}-1=mp$
Thay $p=mq+1$ vào $q^{2}-1=mp$ ta được $q^{2}-m^{2}q-m-1=0 $ (*)
Coi (*) là phương trình bậc 2 ẩn q , khi đó
$\Delta =m^{4}+4m +4$ là số chính phương
Có $m^{4}<\Delta <(m^{2}+2)^{2}$
Nên $\Delta =(m^{2}+1)^2$
$\Leftrightarrow m=1$
Suy ra $q=2 , p=3 $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhng2k7: 22-09-2022 - 22:24
- perfectstrong, ThienDuc1101 và Matthew James thích
Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học, số nguyên tố, đề thi chuyên toán
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sum_{n\vdots d,d=2k+1}\varphi (d)2^{\frac{n}{d}} \hspace{0.2cm} \vdots \hspace{0.2cm} n$Bắt đầu bởi hovutenha, 08-03-2024 tổ hợp, số học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$f(a)-f(b) \vdots a-b$Bắt đầu bởi Sa is very stupid and lazy, 17-01-2024 số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$x^n+n \vdots p^m$Bắt đầu bởi trinhgiahuy2008, 15-01-2024 số học |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh