Đến nội dung

Hình ảnh

(Thi chuyên toán KHTN 2017) Tìm các số nguyên tố $p,q$ thỏa mãn $p(p-1)=q(q^2-1)$

- - - - - số học số nguyên tố đề thi chuyên toán

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Matthew James

Matthew James

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 106 Bài viết

(Thi chuyên toán KHTN 2017) Tìm các số nguyên tố $p,q$ thỏa mãn $p(p-1)=q(q^2-1)$


Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty. :D 


#2
thanhng2k7

thanhng2k7

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết

+)  Nếu $p=q$ thì $p-1=q^{2}-1$ suy ra hoặc $p=q=0$ hoặc $p=q=1$ ( vô lí do p,q nguyên tố )

Suy ra $p\neq q$ , do p , q nguyên tố nên $p-1 \vdots q$ và $q^{2}-1 \vdots p$ 

$\Rightarrow \exists m,n \epsilon \mathbb{N}^{*}$ sao cho $p-1=mq$ và $q^{2}-1=np$

Thay vào đề bài ta đc $m=n$ 

Do đó  $p-1=mq$ và  $q^{2}-1=mp$

Thay $p=mq+1$ vào  $q^{2}-1=mp$ ta được $q^{2}-m^{2}q-m-1=0 $ (*)

Coi (*) là phương trình bậc 2 ẩn q , khi đó 

$\Delta =m^{4}+4m +4$ là số chính phương 

Có $m^{4}<\Delta <(m^{2}+2)^{2}$

Nên $\Delta =(m^{2}+1)^2$

$\Leftrightarrow m=1$

Suy ra $q=2 , p=3 $ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhng2k7: 22-09-2022 - 22:24

Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học ;)






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học, số nguyên tố, đề thi chuyên toán

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh