Đến nội dung


Chú ý

Nếu không nhận được email từ diễn đàn, bạn hãy kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org".


Hình ảnh

(Thi chuyên toán KHTN 2017) Tìm các số nguyên tố $p,q$ thỏa mãn $p(p-1)=q(q^2-1)$

số học số nguyên tố đề thi chuyên toán

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Matthew James

Matthew James

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 37 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:N

Đã gửi 22-09-2022 - 21:58

(Thi chuyên toán KHTN 2017) Tìm các số nguyên tố $p,q$ thỏa mãn $p(p-1)=q(q^2-1)$


Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty. :D 


#2 thanhng2k7

thanhng2k7

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K32 Toán , THPT Chuyên Bắc Giang
  • Sở thích:Allain

Đã gửi 22-09-2022 - 22:24

+)  Nếu $p=q$ thì $p-1=q^{2}-1$ suy ra hoặc $p=q=0$ hoặc $p=q=1$ ( vô lí do p,q nguyên tố )

Suy ra $p\neq q$ , do p , q nguyên tố nên $p-1 \vdots q$ và $q^{2}-1 \vdots p$ 

$\Rightarrow \exists m,n \epsilon \mathbb{N}^{*}$ sao cho $p-1=mq$ và $q^{2}-1=np$

Thay vào đề bài ta đc $m=n$ 

Do đó  $p-1=mq$ và  $q^{2}-1=mp$

Thay $p=mq+1$ vào  $q^{2}-1=mp$ ta được $q^{2}-m^{2}q-m-1=0 $ (*)

Coi (*) là phương trình bậc 2 ẩn q , khi đó 

$\Delta =m^{4}+4m +4$ là số chính phương 

Có $m^{4}<\Delta <(m^{2}+2)^{2}$

Nên $\Delta =(m^{2}+1)^2$

$\Leftrightarrow m=1$

Suy ra $q=2 , p=3 $ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhng2k7: 22-09-2022 - 22:24

Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học :) :) :)






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học, số nguyên tố, đề thi chuyên toán

3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh