Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

$0$ là điểm giới hạn của $S$ $\iff$ $S$ trù mật trong $\mathbb{R}$

trù mật

  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản trị
  • 2250 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-09-2022 - 20:06

Mệnh đề. Cho $S\subset\mathbb{R}$ thoả mãn: nếu $x\in S$ thì $nx\in S$ với mọi $n\in\mathbb{Z}$. Khi đó:

$$0 \text{ là điểm giới hạn của } S \iff S \text{ trù mật trong }\mathbb{R}.$$ 

 

Bài này mình đã đăng trong một thảo luận ở box Olympic (thảo luận ở đó cũng khá hay). Vừa mới nhớ ra nên đăng lại vào đây, phù hợp hơn.

 

Hệ quả 1. $\mathbb{Q}$ trù mật trong $\mathbb{R}$.

 

Hệ quả 2. Với mọi $r$ vô tỉ, $\{m+nr: m,n\in\mathbb{Z}\}$ trù mật trong $\mathbb{R}$.

 

Kết quả ở trên khá đẹp nhưng thực ra không quá mạnh (chẳng hạn, nó không suy ra được $\{2^m 3^n: m,n\in\mathbb{Z}\}$ trù mật trong $\mathbb{R}$). Nếu anh em có hứng thú thì trong topic này chúng ta sẽ cố gắng tìm được tập $S$ tổng quát nhất có thể thoả mãn tính chất ở trên.


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh