Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm các số nguyên tố $p,q$ và các số tự nhiên $x$ thỏa mãn $p^2 -pq +q^2=x^2$.

số học số nguyên tố

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1
Matthew James

Matthew James

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 106 Bài viết

Tìm các số nguyên tố $p,q$ và các số tự nhiên $x$ thỏa mãn $p^2 -pq +q^2=x^2$.


Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty. :D 


#2
thanhng2k7

thanhng2k7

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết

Không mất tính tổng quát ta giả sử $p\leq q$

Ta có $p^2-pq+q^2=x^2 \Leftrightarrow (p-q)^2+pq=x^2\Leftrightarrow pq=(x-p+q)(x+p-q)$

+) $p=q$ thì $p=q=x$ (thỏa mãn )

+) $p<q$ thì $x-p+q > x+p-q$

Do p,q nguyên tố và $p<q$ nên ta có các trường hợp sau :

-TH1: $x-p+q = q , x+p-q=p$ (loại do từ đó suy ra $p=q$ )

-TH2:$x-p+q =pq$ và $x+p-q=1$

Khi đó suy ra $2q-2q=pq-1$

$\Leftrightarrow p=\frac{2q+1}{q+2}=2-\frac{3}{q+2}< 2$ ( p không là snt )

Vậy $p=q=x$ thì thỏa mãn đề bài 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhng2k7: 26-09-2022 - 20:47

Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học ;)


#3
Matthew James

Matthew James

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 106 Bài viết

Không mất tính tổng quát ta giả sử $p\leq q$

Ta có $p^2-pq+q^2=x^2 \Leftrightarrow (p-q)^2+pq=x^2\Leftrightarrow pq=(x-p+q)(x+p-q)$

+) $p=q$ thì $p=q=x$ thay vào đề bài thấy hoặc $q=0$ hoặc $q=1$ (ktm)

+) $p<q$ thì $x-p+q > x+p-q$

Do p,q nguyên tố và $p<q$ nên ta có các trường hợp sau :

-TH1: $x-p+q = q , x+p-q=p$ (loại do từ đó suy ra $p=q$ )

-TH2:$x-p+q =pq$ và $x+p-q=1$

Khi đó suy ra $2q-2q=pq-1$

$\Leftrightarrow p=\frac{2q+1}{q+2}=2-\frac{3}{q+2}< 2$ ( p không là snt )

Vậy k có giá trị p,q,x thỏa mãn 

(P/s: Không biết có đúng không nữa =))) )

thấy cx hợp lí mà ko có giá trị ko biết đúng không nữa =)))


Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty. :D 


#4
thanhng2k7

thanhng2k7

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết

thấy cx hợp lí mà ko có giá trị ko biết đúng không nữa =)))

Chắc là đúng thôi =))) 


Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học ;)


#5
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Cho $p=q$ thì đề luôn có nghiệm $x=p=q$ mà ?


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#6
Matthew James

Matthew James

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 106 Bài viết

Cho $p=q$ thì đề luôn có nghiệm $x=p=q$ mà ?

vậy có nghĩa là bài này thỏa mãn mọi giá trị p=q nguyên tố đúng không ạ ?


Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty. :D 


#7
thanhng2k7

thanhng2k7

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết

Cho $p=q$ thì đề luôn có nghiệm $x=p=q$ mà ?

Để em sửa =))


Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học ;)


#8
Matthew James

Matthew James

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 106 Bài viết

Không mất tính tổng quát ta giả sử $p\leq q$

Ta có $p^2-pq+q^2=x^2 \Leftrightarrow (p-q)^2+pq=x^2\Leftrightarrow pq=(x-p+q)(x+p-q)$

+) $p=q$ thì $p=q=x$ (thỏa mãn )

+) $p<q$ thì $x-p+q > x+p-q$

Do p,q nguyên tố và $p<q$ nên ta có các trường hợp sau :

-TH1: $x-p+q = q , x+p-q=p$ (loại do từ đó suy ra $p=q$ )

-TH2:$x-p+q =pq$ và $x+p-q=1$

Khi đó suy ra $2q-2q=pq-1$

$\Leftrightarrow p=\frac{2q+1}{q+2}=2-\frac{3}{q+2}< 2$ ( p không là snt )

Vậy $p=q=x$ thì thỏa mãn đề bài 

Đoạn TH2 sao ra được $p=\frac{2q+1}{p+2}$ vậy =)))


Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty. :D 


#9
thanhng2k7

thanhng2k7

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết

Đoạn TH2 sao ra được $p=\frac{2q+1}{p+2}$ vậy =)))

$2q-2p=pq-1 \Leftrightarrow p(q+2)=2q+1\Leftrightarrow p=\frac{2q+1}{q+2}$ =)) 


Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học ;)


#10
Matthew James

Matthew James

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 106 Bài viết

$2q-2p=pq-1 \Leftrightarrow p(q+2)=2q+1\Leftrightarrow p=\frac{2q+1}{q+2}$ =)) 

À nhầm nãy em biến đổi ra $p=\frac{2q+1}{2-q}$. Chắc nhầm dấu =)))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Matthew James: 26-09-2022 - 21:03

Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty. :D 


#11
thanhng2k7

thanhng2k7

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết

À nhầm nãy tôi biến đổi ra $p=\frac{2q+1}{2-q}$. Chắc nhầm dấu =)))

=))))) cung ghe


Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học ;)


#12
Matthew James

Matthew James

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 106 Bài viết

=))))) cung ghe

Ghê gì nhầm dấu =)))


Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty. :D 


#13
thanhng2k7

thanhng2k7

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết

Ghê gì nhầm dấu =)))

=))))) 


Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học ;)






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học, số nguyên tố

3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh