Tìm các số nguyên tố $p,q$ và các số tự nhiên $x$ thỏa mãn $p^2 -pq +q^2=x^2$.
Tìm các số nguyên tố $p,q$ và các số tự nhiên $x$ thỏa mãn $p^2 -pq +q^2=x^2$.
#1
Đã gửi 26-09-2022 - 19:30
- thanhng2k7 và ThienDuc1101 thích
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty.
#2
Đã gửi 26-09-2022 - 19:50
Không mất tính tổng quát ta giả sử $p\leq q$
Ta có $p^2-pq+q^2=x^2 \Leftrightarrow (p-q)^2+pq=x^2\Leftrightarrow pq=(x-p+q)(x+p-q)$
+) $p=q$ thì $p=q=x$ (thỏa mãn )
+) $p<q$ thì $x-p+q > x+p-q$
Do p,q nguyên tố và $p<q$ nên ta có các trường hợp sau :
-TH1: $x-p+q = q , x+p-q=p$ (loại do từ đó suy ra $p=q$ )
-TH2:$x-p+q =pq$ và $x+p-q=1$
Khi đó suy ra $2q-2q=pq-1$
$\Leftrightarrow p=\frac{2q+1}{q+2}=2-\frac{3}{q+2}< 2$ ( p không là snt )
Vậy $p=q=x$ thì thỏa mãn đề bài
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhng2k7: 26-09-2022 - 20:47
- ThienDuc1101 và Matthew James thích
Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học
#3
Đã gửi 26-09-2022 - 20:28
Không mất tính tổng quát ta giả sử $p\leq q$
Ta có $p^2-pq+q^2=x^2 \Leftrightarrow (p-q)^2+pq=x^2\Leftrightarrow pq=(x-p+q)(x+p-q)$
+) $p=q$ thì $p=q=x$ thay vào đề bài thấy hoặc $q=0$ hoặc $q=1$ (ktm)
+) $p<q$ thì $x-p+q > x+p-q$
Do p,q nguyên tố và $p<q$ nên ta có các trường hợp sau :
-TH1: $x-p+q = q , x+p-q=p$ (loại do từ đó suy ra $p=q$ )
-TH2:$x-p+q =pq$ và $x+p-q=1$
Khi đó suy ra $2q-2q=pq-1$
$\Leftrightarrow p=\frac{2q+1}{q+2}=2-\frac{3}{q+2}< 2$ ( p không là snt )
Vậy k có giá trị p,q,x thỏa mãn
(P/s: Không biết có đúng không nữa =))) )
thấy cx hợp lí mà ko có giá trị ko biết đúng không nữa =)))
- thanhng2k7 yêu thích
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty.
#4
Đã gửi 26-09-2022 - 20:30
thấy cx hợp lí mà ko có giá trị ko biết đúng không nữa =)))
Chắc là đúng thôi =)))
- Le Tuan Canhh và Matthew James thích
Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học
#5
Đã gửi 26-09-2022 - 20:39
Cho $p=q$ thì đề luôn có nghiệm $x=p=q$ mà ?
- thanhng2k7 và Matthew James thích
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#6
Đã gửi 26-09-2022 - 20:43
Cho $p=q$ thì đề luôn có nghiệm $x=p=q$ mà ?
vậy có nghĩa là bài này thỏa mãn mọi giá trị p=q nguyên tố đúng không ạ ?
- thanhng2k7 yêu thích
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty.
#7
Đã gửi 26-09-2022 - 20:46
Cho $p=q$ thì đề luôn có nghiệm $x=p=q$ mà ?
Để em sửa =))
- Matthew James yêu thích
Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học
#8
Đã gửi 26-09-2022 - 20:51
Không mất tính tổng quát ta giả sử $p\leq q$
Ta có $p^2-pq+q^2=x^2 \Leftrightarrow (p-q)^2+pq=x^2\Leftrightarrow pq=(x-p+q)(x+p-q)$
+) $p=q$ thì $p=q=x$ (thỏa mãn )
+) $p<q$ thì $x-p+q > x+p-q$
Do p,q nguyên tố và $p<q$ nên ta có các trường hợp sau :
-TH1: $x-p+q = q , x+p-q=p$ (loại do từ đó suy ra $p=q$ )
-TH2:$x-p+q =pq$ và $x+p-q=1$
Khi đó suy ra $2q-2q=pq-1$
$\Leftrightarrow p=\frac{2q+1}{q+2}=2-\frac{3}{q+2}< 2$ ( p không là snt )
Vậy $p=q=x$ thì thỏa mãn đề bài
Đoạn TH2 sao ra được $p=\frac{2q+1}{p+2}$ vậy =)))
- thanhng2k7 yêu thích
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty.
#9
Đã gửi 26-09-2022 - 20:59
Đoạn TH2 sao ra được $p=\frac{2q+1}{p+2}$ vậy =)))
$2q-2p=pq-1 \Leftrightarrow p(q+2)=2q+1\Leftrightarrow p=\frac{2q+1}{q+2}$ =))
- Matthew James yêu thích
Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học
#10
Đã gửi 26-09-2022 - 21:01
$2q-2p=pq-1 \Leftrightarrow p(q+2)=2q+1\Leftrightarrow p=\frac{2q+1}{q+2}$ =))
À nhầm nãy em biến đổi ra $p=\frac{2q+1}{2-q}$. Chắc nhầm dấu =)))
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Matthew James: 26-09-2022 - 21:03
- thanhng2k7 yêu thích
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty.
#11
Đã gửi 26-09-2022 - 21:02
À nhầm nãy tôi biến đổi ra $p=\frac{2q+1}{2-q}$. Chắc nhầm dấu =)))
=))))) cung ghe
- Matthew James yêu thích
Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học
#12
Đã gửi 26-09-2022 - 21:15
=))))) cung ghe
Ghê gì nhầm dấu =)))
- thanhng2k7 yêu thích
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty.
#13
Đã gửi 26-09-2022 - 21:26
Ghê gì nhầm dấu =)))
=)))))
- Matthew James yêu thích
Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học, số nguyên tố
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sum_{n\vdots d,d=2k+1}\varphi (d)2^{\frac{n}{d}} \hspace{0.2cm} \vdots \hspace{0.2cm} n$Bắt đầu bởi hovutenha, 08-03-2024 tổ hợp, số học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$f(a)-f(b) \vdots a-b$Bắt đầu bởi Sa is very stupid and lazy, 17-01-2024 số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$x^n+n \vdots p^m$Bắt đầu bởi trinhgiahuy2008, 15-01-2024 số học |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh