Tìm các số nguyên tố $p,q$ và các số tự nhiên $n$ thỏa mãn $p(p+1)+q(q+1)=n(n+1)$
(Bài này em có ý tưởng thêm $2pq$ mà chưa ra được ạ)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Matthew James: 26-09-2022 - 21:41
Tìm các số nguyên tố $p,q$ và các số tự nhiên $n$ thỏa mãn $p(p+1)+q(q+1)=n(n+1)$
(Bài này em có ý tưởng thêm $2pq$ mà chưa ra được ạ)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Matthew James: 26-09-2022 - 21:41
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty.
Biến đổi đẳng thức đã cho ta được $p(p+1)+q(q+1)=n(n+1)\Leftrightarrow p(p+1)=(n-q)(n+q+1)$
Giả sử tồn tại p,q nguyên tố và n nguyên dương thỏa mãn bài toán , khi đó từ đẳng thức trên ta suy ra $n-q \vdots p$ hoặc $n+q+1\vdots p$
Xét các trường hợp$n-q \vdots p$
+)Th1:$n-q \vdots p$ thì suy ra $n-q\geq p$ do đó $n+q+1>p+1$
Suy ra $p(p+1)< (n-q)(n+q+1)$ (mâu thuẫn )
+) Th2: $n+q+1\vdots p$ , khi đó tồn tại số tự nhiên k để $n+q+1=kp$ (k khác 0)
Do đó từ $p(p+1)=(n-p)(n+q+1)$ ta suy ra $p+1=k(n-q)$
Mà $(p+q)(p+q+1)=(p+1)p+q(q+1)+2pq\geq n(n+1)$
KMTTQ giả sử $p\geq q$
Do $n(n+1)> p(p+1)$ nên $n>p$
Từ $n+q+1=kp$ ta được $kp>n>p$
nên $k>1$
Mặt khác $kp<(p+q)+q+1 \leq 3p+1 <4p $
Như vậy ta có $1<k<4$ và k là số tự nhiên nên ta được hoặc $k=2$ hoặc $k=3$
+) Với $k=2$ thì $n=2p-q-1$ và $p+1=2(n-q)$ nên suy ra $3(p-1)=4q$
Do đó q chia hết cho 3 , q nguyên tố nên $q=3$ suy ra $p=5$ và $n=6$
+) Với $k=3$ thì $n=3p-q-1$ và $p+1=3(n-q)$ suy ra $2(2p-1)=3q$
Do đó q chia hết cho 2 , q nguyên tố nên $q=2$ suy ra $p=2$ và $n=3$
(P/s: Đánh vội nên nếu có chỗ sai sót mong bạn thông cảm =)))) )
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhng2k7: 26-09-2022 - 21:54
Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sum_{n\vdots d,d=2k+1}\varphi (d)2^{\frac{n}{d}} \hspace{0.2cm} \vdots \hspace{0.2cm} n$Bắt đầu bởi hovutenha, 08-03-2024 tổ hợp, số học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$f(a)-f(b) \vdots a-b$Bắt đầu bởi Sa is very stupid and lazy, 17-01-2024 số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$x^n+n \vdots p^m$Bắt đầu bởi trinhgiahuy2008, 15-01-2024 số học |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh