Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn $\frac{x^3+x^3}{x^2+xy+y^2}$ là một số nguyên tố.

số học số nguyên tố

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Matthew James

Matthew James

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 106 Bài viết

Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn $\frac{x^3+x^3}{x^2+xy+y^2}$ là một số nguyên tố.


Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty. :D 


#2
Matthew James

Matthew James

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 106 Bài viết

Bài này em làm được đến đoạn này thì không làm được nữa: 

        Giải

Đặt $\frac{x^3+y^3}{x^2+xy+y^2}=p (p\in P )$

$\Rightarrow x^3+y^3=p(x^2+xy+y^2)$

Đặt $(x,y)=d$ thì $x=da ; y=db (a,b\in N*,(a,b)=1)$

Ta có $d^3(a^3+b^3)=pd^2(a^2+ab+b^2)$

$\Leftrightarrow d(a^3+b^3)=p(a^2+ab+b^2)$

$\Leftrightarrow d(a+b)(a^2-ab+b^2)=p(a^2+ab+b^2)$


Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty. :D 


#3
chuyenndu

chuyenndu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 172 Bài viết

Bài này em làm được đến đoạn này thì không làm được nữa: 

        Giải

Đặt $\frac{x^3+y^3}{x^2+xy+y^2}=p (p\in P )$

$\Rightarrow x^3+y^3=p(x^2+xy+y^2)$

Đặt $(x,y)=d$ thì $x=da ; y=db (a,b\in N*,(a,b)=1)$

Ta có $d^3(a^3+b^3)=pd^2(a^2+ab+b^2)$

$\Leftrightarrow d(a^3+b^3)=p(a^2+ab+b^2)$

$\Leftrightarrow d(a+b)(a^2-ab+b^2)=p(a^2+ab+b^2)$

vì (a,b)=1 nên $(a+b,a^2+ab+b^2)=(a^2-ab+b^2,a^2+ab+b^2)=1$, từ hệ thức cuối cùng $\Rightarrow a^2+ab+b^2|d$

viết lại đẳng thức thành $\frac{d}{a^2+ab+b^2}(a^2-ab+b^2)(a+b)=p$, vì $a+b\ge 2$ nên $a^2-ab+b^2=1\Rightarrow a=b=1$







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học, số nguyên tố

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh