Cho $x,y,z$ là các số không âm. Chứng minh rằng:
$4(xy+yz+zx)\leq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}.(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})$
Cho $x,y,z$ là các số không âm. Chứng minh rằng:
$4(xy+yz+zx)\leq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}.(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})$
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty.
Gợi ý, áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz : $(ab+cd)^2 \leq (a^2+c^2)(b^2+d^2)$
Em thử rồi mà vẫn chưa ra được ạ
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty.
Mình nghĩ là nên đặt$a=\sqrt{x+y};b=\sqrt{y+z};c=\sqrt{z+x}$, sẽ dễ đánh giá hơn
Dư Hấu
Theo em nghĩ thì có thể bài này sẽ dùng cái này:
$\sqrt{(x+y)(x+z)}\geq x+\sqrt{yz}$
Tương tự.
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty.
Đặt $\sqrt{x+y}=a,\sqrt{y+z}=b,\sqrt{z+x}=c \Rightarrow x=\frac{a^2+c^2-b^2}{2},y=\frac{a^2+b^2-c^2}{2},z=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}$.
Khi đó BĐT cần chứng minh tương đương với:
$\sum(a^2+c^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)\leq abc(a+b+c)$
$\Leftrightarrow 2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4\leq abc(a+b+c)$
$\Leftrightarrow(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc(a+b+c)$. $(1)$
Xét TH $x=y=z=0\Rightarrow a=b=c=0$, Khi đó cả hai vế của $(1)$ bằng nhau và bằng 0, ta có đpcm.
Xét TH tồn tại trong $x,y,z$ một số lớn hơn 0. Khi đó $x+y+z>0$. Lúc này $(1)\Leftrightarrow (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$ (Nhưng đây chính là BĐT Schur quen thuộc).
Vậy ta hoàn tất chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leonguyen: 08-04-2023 - 08:03
"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"
(Giáo sư Tạ Quang Bửu)
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sum_{n\vdots d,d=2k+1}\varphi (d)2^{\frac{n}{d}} \hspace{0.2cm} \vdots \hspace{0.2cm} n$Bắt đầu bởi hovutenha, 08-03-2024 tổ hợp, số học |
|
|||
Toán Đại cương →
Đại số tuyến tính, Hình học giải tích →
Tại sao không phải mọi tập sinh có 3 phần tử là tập cơ sởBắt đầu bởi Lyua My, 21-01-2024 đại số |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$f(a)-f(b) \vdots a-b$Bắt đầu bởi Sa is very stupid and lazy, 17-01-2024 số học |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh