Chủ đề này có 5 trả lời

[Matthew James]

Cho $x,y,z$ là các số không âm. Chứng minh rằng:

$4(xy+yz+zx)\leq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}.(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})$

 

[phuc_90]

Gợi ý, áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz :  $(ab+cd)^2 \leq (a^2+c^2)(b^2+d^2)$

[Matthew James]

Gợi ý, áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz :  $(ab+cd)^2 \leq (a^2+c^2)(b^2+d^2)$

Em thử rồi mà vẫn chưa ra được ạ

[Le Tuan Canhh]

Mình nghĩ là nên đặt$a=\sqrt{x+y};b=\sqrt{y+z};c=\sqrt{z+x}$, sẽ dễ đánh giá hơn

[Matthew James]

Theo em nghĩ thì có thể bài này sẽ dùng cái này:

$\sqrt{(x+y)(x+z)}\geq x+\sqrt{yz}$

Tương tự. 

[Leonguyen]

Đặt $\sqrt{x+y}=a,\sqrt{y+z}=b,\sqrt{z+x}=c \Rightarrow x=\frac{a^2+c^2-b^2}{2},y=\frac{a^2+b^2-c^2}{2},z=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}$.

Khi đó BĐT cần chứng minh tương đương với:

$\sum(a^2+c^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)\leq abc(a+b+c)$

$\Leftrightarrow 2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4\leq abc(a+b+c)$

$\Leftrightarrow(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc(a+b+c)$.     $(1)$

Xét TH $x=y=z=0\Rightarrow a=b=c=0$, Khi đó cả hai vế của $(1)$ bằng nhau và bằng 0, ta có đpcm.

Xét TH tồn tại trong $x,y,z$ một số lớn hơn 0. Khi đó $x+y+z>0$. Lúc này $(1)\Leftrightarrow (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$ (Nhưng đây chính là BĐT Schur quen thuộc). 

Vậy ta hoàn tất chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leonguyen: 08-04-2023 - 08:03