Chủ đề này có 1 trả lời

[VHTuan]

Cho 3 số thực x,y,z thoả$x \geq y \geq z$ và$x+y+z=x^3+y^3+z^3=2$. Tìm giá trị lớn nhất của z

[Hoang72]

Ta có thể tìm ra một bộ $(x,y,z)$ dương thoả mãn. Do đó ta chỉ cần xét $z>0$.

Khi đó $2\geq x,y,z\geq 0$

Ta có $3(x+y)(y+z)(z+x) = (x+y+z)^3 - (x^3+y^3+z^3) = 6$

$\Rightarrow (x+y)(y+z)(z+x) = 2$

$\Rightarrow (2-x)(2-y)(2-z) = 2$.

Đặt $m = 2-z; n = 2-y; p = 2-x$ với $m>n>p>0$ thì $mnp = 2$ và $m+n+p = 4$.

Khi đó $np = \frac{2}{m}$ và $n+p = 4-m$.

Do $(n+p)^2 \geq 4np$ và $0\leq m\leq 2$ nên giải ra ta có $3-\sqrt{5} \leq m\leq 2$.

Giải ra ta có $n=\frac{\sqrt{\frac{(m-2)(m^2-6m+4)}{m}}+4-m}{2}$.

Vì $n\leq m$ nên giải ra ta được $m\geq 2(4-\sqrt{10})\Rightarrow z\leq 2(\sqrt{10}-3)$.

Vậy,...