Chủ đề này có 2 trả lời

[Le Tuan Canhh]

Xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn $6xyz=x^2+2y^2+3z^2$.

1) CM :$\frac{1}{y}+ \frac{2}{x}\leq 3$

2) Tìm max $P=10x+6y+2z+\frac{4}{x}+\frac{3}{y}+\frac{2}{z}$

[Toan0710]

1) Từ giả thiết $\Leftrightarrow 3z^2-6xy.z+x^2+2y^2=0(*)$

Ta xem (*) là pt bậc 2 theo ẩn z với x,y là tham số.

(*) có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta'_{(*)}\geq 0 \Leftrightarrow (3xy)^2-3(x^2+2y^2)\geq 0 \Leftrightarrow \frac{1}{y^2}+\frac{2}{x^2}\leq 3.$ $(**)$

Từ $(**)\Rightarrow 9\geq (1+2)(\frac{1}{y^2}+\frac{2}{x^2})=(1^2+(\sqrt{2})^2)(\frac{1^2}{y^2}+\frac{(\sqrt{2})^2}{x^{2}})\geq (\frac{1}{x}+\frac{2}{y})^2$ (Bunhiacopxki)

$\Rightarrow \frac{1}{y}+\frac{2}{x}\leq 3.\square$.

Dấu "=" $\Leftrightarrow \frac{1}{1/y}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}/x} \Rightarrow x=y=z=1$.

[Le Tuan Canhh]

Xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn $6xyz=x^2+2y^2+3z^2$.

1) CM :$\frac{1}{y}+ \frac{2}{x}\leq 3$

2) Tìm max $P=10x+6y+2z+\frac{4}{x}+\frac{3}{y}+\frac{2}{z}$

Phần 1 thì mình có thể tách ra như sau : $6xyz=x^{2}+z^{2}+2(y^{2}+z^{2})\geq 2xz+4yz$ $\Rightarrow 3\geq \frac{1}{y}+\frac{2}{x}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Tuan Canhh: 04-10-2022 - 18:13