Chủ đề này có 3 trả lời

[Matthew James]

Cho các số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn $\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}$ là số nguyên. Gọi $d$ là Ước chung lớn nhất của $a,b$. Chứng minh rằng $d\leq \sqrt{a+b}$ (Hay cần C/m: $d^2|a+b$)

[Sangnguyen3]

Ton tai $x,y$ nguyen duong thoa man $a=dx, b=dy$ va $(x;y)=1$

Can chung minh $d\leq x+y$

$\frac{dx+1}{dy}+\frac{dy+1}{dx}$ nguyen 

$\Rightarrow \frac{d\left ( x^{2}+y^{2} \right )+x+y}{dxy}$ nguyen 
$\Rightarrow x+y\vdots d \Rightarrow d\leq x+y$

[Matthew James]

Ton tai $x,y$ nguyen duong thoa man $a=dx, b=dy$ va $(x;y)=1$

Can chung minh $d\leq x+y$

$\frac{dx+1}{dy}+\frac{dy+1}{dx}$ nguyen 

$\Rightarrow \frac{d\left ( x^{2}+y^{2} \right )+x+y}{dxy}$ nguyen 
$\Rightarrow x+y\vdots d \Rightarrow d\leq x+y$

Anh có thể giải thích cho em tại sao lại có $\Rightarrow x+y\vdots d$  và tại sao lại cần C/m $\Rightarrow d\leq x+y$ ạ ?   

[ThienDuc1101]

Anh có thể giải thích cho em tại sao lại có $\Rightarrow x+y\vdots d$  và tại sao lại cần C/m $\Rightarrow d\leq x+y$ ạ ? 

Chỗ này anh thay $x=\frac{a}{d},y=\frac{b}{d}$. Khi đó, ta có $d\leq \frac{a}{d}+\frac{b}{d}\Rightarrow d^2\leq a+b$. Đến đây, ta được (đpcm).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThienDuc1101: 03-10-2022 - 22:47