Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh

Cho các số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn $\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}$ là số nguyên. Gọi $d$ là Ước chung lớn nhất của $a,b$.

số học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Matthew James

Matthew James

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 82 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:N

Đã gửi 03-10-2022 - 19:13

Cho các số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn $\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}$ là số nguyên. Gọi $d$ là Ước chung lớn nhất của $a,b$. Chứng minh rằng $d\leq \sqrt{a+b}$ (Hay cần C/m: $d^2|a+b$)


Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty. :D 


#2 Sangnguyen3

Sangnguyen3

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Folotino

Đã gửi 03-10-2022 - 21:28

Ton tai $x,y$ nguyen duong thoa man $a=dx, b=dy$ va $(x;y)=1$

Can chung minh $d\leq x+y$

$\frac{dx+1}{dy}+\frac{dy+1}{dx}$ nguyen 

$\Rightarrow \frac{d\left ( x^{2}+y^{2} \right )+x+y}{dxy}$ nguyen 
$\Rightarrow x+y\vdots d \Rightarrow d\leq x+y$



#3 Matthew James

Matthew James

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 82 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:N

Đã gửi 03-10-2022 - 21:44

Ton tai $x,y$ nguyen duong thoa man $a=dx, b=dy$ va $(x;y)=1$

Can chung minh $d\leq x+y$

$\frac{dx+1}{dy}+\frac{dy+1}{dx}$ nguyen 

$\Rightarrow \frac{d\left ( x^{2}+y^{2} \right )+x+y}{dxy}$ nguyen 
$\Rightarrow x+y\vdots d \Rightarrow d\leq x+y$

Anh có thể giải thích cho em tại sao lại có $\Rightarrow x+y\vdots d$  và tại sao lại cần C/m $\Rightarrow d\leq x+y$ ạ ?  :D 


Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty. :D 


#4 ThienDuc1101

ThienDuc1101

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

Đã gửi 03-10-2022 - 22:47

Anh có thể giải thích cho em tại sao lại có $\Rightarrow x+y\vdots d$  và tại sao lại cần C/m $\Rightarrow d\leq x+y$ ạ ?  :D

Chỗ này anh thay $x=\frac{a}{d},y=\frac{b}{d}$. Khi đó, ta có $d\leq \frac{a}{d}+\frac{b}{d}\Rightarrow d^2\leq a+b$. Đến đây, ta được (đpcm).


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThienDuc1101: 03-10-2022 - 22:47






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh