Cho $n$ là số nguyên dương, còn $p$ là số nguyên tố thỏa mãn $p-1$ chia hết cho $n$ và $n^3-1$ chia hết cho $p$. Chứng minh rằng $p+n$ là số chính phương.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Matthew James: 04-10-2022 - 21:53
Cho $n$ là số nguyên dương, còn $p$ là số nguyên tố thỏa mãn $p-1$ chia hết cho $n$ và $n^3-1$ chia hết cho $p$. Chứng minh rằng $p+n$ là $k^2$
Bắt đầu bởi Matthew James, 04-10-2022 - 21:53
số nguyên tố
#1
Đã gửi 04-10-2022 - 21:53
Matthew James
-
- Thành viên
-
- 106 Bài viết
Trung sĩ
- ThienDuc1101 yêu thích
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty. 
#2
Đã gửi 05-10-2022 - 12:18
Hoang72
-
- Điều hành viên OLYMPIC
-
- 539 Bài viết
Thiếu úy
Bài này khá quen thuộc:
Ta có $n^3-1\vdots p \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} p\mid n^2+n+1 \\p\mid n-1\end{array}\right.$.
$\bullet$ $p\mid n-1$: Khi đó $n\geq p+1$.
Lại có $n\mid p-1\Rightarrow n\leq p-1 < p+1$, mâu thuẫn.
$\bullet$ $p\mid n^2+n+1$: Do $n\mid p-1$, đặt $p=nk+1$.
Ta có $nk + 1\mid n^2+n+1\Rightarrow nk + 1\mid n^2k + nk + k$
$\Rightarrow nk+1\mid (nk+1)(n+1) + k - n -1$
$\Rightarrow nk+1\mid k - n - 1$.
Do $|k-n-1| < nk+1$ nên $k-n-1=0$
$\Rightarrow k=n+1\Rightarrow p+n=nk+1+n = (n+1)^2$. (đpcm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 05-10-2022 - 12:19
- ThienDuc1101 và Matthew James thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số nguyên tố
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
