Đến nội dung

Hình ảnh

Cho các số tự nhiên $a,b$ thỏa mãn $a-b$ là số nguyên tố và $ab+c(a+b)=3c^2$. Chứng minh rằng $8c+1$ là số chính phương.

số nguyên tố số chính phương

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Matthew James

Matthew James

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 106 Bài viết

Cho các số tự nhiên $a,b$ thỏa mãn $a-b$ là số nguyên tố và $ab+c(a+b)=3c^2$. Chứng minh rằng $8c+1$ là số chính phương.


Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty. :D 


#2
thanhng2k7

thanhng2k7

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết

 Ta có  $ab+c(a+b)=3c^2\Leftrightarrow (a+c)(b+c)=(2c)^2$

Đặt $(a+c,b+c)=d$ ,suy ra $d | a-b$ hay $ d=1 $ hoặc $ d=a-b$ ( do$a-b$ là số nguyên tố )

+) Nếu $d=1$ thì $ a+c , b+c $ đều là số chính phương  . Đặt $a+c=m^2$ và $b+c=n^2$ $( m ,n \epsilon \mathbb{Z})$

Suy ra $m^2-n^2=a-b$ , mà $a-b$ là số nguyên tố nên $m-n=1 \Leftrightarrow  m=n+1 $ 

Lại có $4c^2=m^2n^2$ suy ra $8c+1= 4mn+1= (2n+1)^2$ là số chính phương

+) Nếu $d=a-b $ thì $a+c=(a-b)x,b+c=(a-b)y$ $(x,y\epsilon \mathbb{Z})$

$\Rightarrow a-b =(a-b)(x-y)\Rightarrow x-y=1 \Rightarrow x=y+1$

Khi đó $4c^2=(a+c)(b+c)=(a-b)^2xy =(a-b)^2y(y+1)$

Suy ra $y(y+1) $ là số chính phương hay$y=0$ , suy ra $c=0$ , từ đó ta có 8c+1 là số chính phương.


Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học ;)






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số nguyên tố, số chính phương

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh