Cho 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 5 ghế. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh, gồm 5 nam và 5 nữ ngồi vào 2 dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng 1 học sinh ngồi. Tính xác xuất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với 1 học sinh nữ
Tính xác xuất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với 1 học sinh nữ
#1
Đã gửi 05-10-2022 - 18:48
Dư Hấu
#2
Đã gửi 05-10-2022 - 19:52
Chọn $1$ ghế cho $1$ học sinh nam có $C_{10}^1$(cách)
Tránh vị trí đối diện học sinh nam, còn lại $8$ ghế.Số cách chọn $1$ ghế cho $1$ học sinh nam là $C_8^1$(cách)
Tránh vị trí đối diện $2$ học sinh nam vừa xếp, còn lại $6$ ghế.Số cách chọn $1$ ghế cho $1$ học sinh nam là $C_6^1$(cách)
Tránh vị trí đối diện $3$ học sinh nam vừa xếp, còn lại $4$ ghế.Số cách chọn $1$ ghế cho $1$ học sinh nam là $C_4^1$(cách)
Tránh vị trí đối diện $4$ học sinh nam vừa xếp, còn lại $2$ ghế.Số cách chọn $1$ ghế cho $1$ học sinh nam là $C_2^1$(cách)
Số cách xếp cho $5$ bạn nữ còn lại vào $5$ ghế là:$A_5^5$
Vậy có tất cả:$C_{10}^1 . C_8^1 . C_6^1 . C_4^1 . C_2^1 . A_5^5 = 460800$(cách)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ruka: 05-10-2022 - 19:54
- perfectstrong, Nobodyv3 và Le Tuan Canhh thích
#3
Đã gửi 05-10-2022 - 20:35
Bây giờ hãy thử một phiên bản "khó" hơn chút: xác suất để có ít nhất 4 bạn nam ngồi đối diện nữ ? Có ít nhất 3 bạn nam ngồi đối diện nữ ?
Tổng quát hơn: với $2n$ bạn xếp vào bạn ($n$ nam và $n$ nữ), thì xác suất để có ít nhất $m$ bạn nam ($m \le n$) ngồi đối diện bạn nữ ?
- Nobodyv3, Le Tuan Canhh và Ruka thích
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#4
Đã gửi 08-10-2022 - 05:21
Số phần tử không gian mẫu ( chọn n bạn ngồi vào 1 dãy ghế, hoán vị n bạn này và hoán vị n bạn còn lại) :Bây giờ hãy thử một phiên bản "khó" hơn chút: xác suất để có ít nhất 4 bạn nam ngồi đối diện nữ ? Có ít nhất 3 bạn nam ngồi đối diện nữ ?
Tổng quát hơn: với $2n$ bạn xếp vào bạn ($n$ nam và $n$ nữ), thì xác suất để có ít nhất $m$ bạn nam ($m \le n$) ngồi đối diện bạn nữ ?
$\left | \Omega \right |=C_{2n}^{n}\left ( n! \right )^2$
Chọn $m$ bạn nam ngồi vào 1 dãy ghế rồi hoán vị $n$ bạn nam, $n$ bạn nữ: $\sum_{k=m}^{n}C_{n}^{k}\left ( n! \right )^{2}$
Vậy XS là: $\frac{\sum_{k=m}^{n}C_{n}^{k}\left [\text{(n-m) chẵn} \right] }{C_{2n}^{n}}.$
trong đó :
$\left [P\right ]=1 $ nếu $P$ đúng, ngược lại thì bằng $0.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 08-10-2022 - 11:17
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
#5
Đã gửi 08-10-2022 - 15:11
Chọn $m$ bạn nam ngồi vào 1 dãy ghế rồi hoán vị $n$ bạn nam, $n$ bạn nữ: $\sum_{k=m}^{n}C_{n}^{k}\left ( n! \right )^{2}$
Chỗ này ý em là xếp $m$ bạn nam vào rồi chọn thêm $m$ bạn nữ ngồi đối diện?
Còn ký hiệu hàm đúng sai thì anh thấy có hai cách: $1_{\text{điều kiện}}$ hoặc $\mathbb{I}_{\text{điều kiện}}$.
- Nobodyv3 yêu thích
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#6
Đã gửi 09-10-2022 - 04:58
Em chọn m bạn nam, cho toàn bộ n bạn nữ ngồi (tất nhiên có m bạn nữ ngồi đối diện m bạn nam trên) rồi hoán vị n bạn nữ...( tức là em không chọn riêng m bạn nữ).Chỗ này ý em là xếp $m$ bạn nam vào rồi chọn thêm $m$ bạn nữ ngồi đối diện?
Còn ký hiệu hàm đúng sai thì anh thấy có hai cách: $1_{\text{điều kiện}}$ hoặc $\mathbb{I}_{\text{điều kiện}}$.
- Hàm đúng sai: cám ơn anh, nhưng em không xem được những gì anh viết!
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
#7
Đã gửi 09-10-2022 - 22:50
Chọn $m$ bạn nam ngồi vào 1 dãy ghế rồi hoán vị $n$ bạn nam, $n$ bạn nữ:
Nếu vậy thì $m$ bạn nam được chọn ngồi đối diện nữ sẽ ngồi chung dãy ghế? Và chắc gì $m$ bạn nam được chọn đã ngồi đối diện nữ ?
- Nobodyv3 yêu thích
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#8
Đã gửi 09-10-2022 - 23:55
Trước hết, em xem các bạn cùng giới tính là giống nhau, thì với mỗi cách xếp $k$ bạn nam vào một dãy sẽ cho ta $1$ cách xếp các bạn còn lại.Vậy :Nếu vậy thì $m$ bạn nam được chọn ngồi đối diện nữ sẽ ngồi chung dãy ghế? Và chắc gì $m$ bạn nam được chọn đã ngồi đối diện nữ ?
- Có $C_{n}^{k}$ cách chọn vị trí ghế cho $k$ bạn nam vào một dãy,
- Giờ ta xét các bạn cùng giới tính cũng khác nhau: có $n!n!$ hoán vị giữa các bạn ấy.
Do đó, số cách xếp các bạn ấy là:
$\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}n!n!$
Theo đề bài thì $m\leq k\leq n $ nên ta có số cách xếp là: $\sum_{k=m}^{n}C_{n}^{k}n!n!$
(và em thêm vào Iverson bracket )
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 10-10-2022 - 00:40
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
#9
Đã gửi 15-10-2022 - 20:14
Số phần tử không gian mẫu ( chọn n bạn ngồi vào 1 dãy ghế, hoán vị n bạn này và hoán vị n bạn còn lại) :
$\left | \Omega \right |=C_{2n}^{n}\left ( n! \right )^2$
Chọn $m$ bạn nam ngồi vào 1 dãy ghế rồi hoán vị $n$ bạn nam, $n$ bạn nữ: $\sum_{k=m}^{n}C_{n}^{k}\left ( n! \right )^{2}$
Vậy XS là: $\frac{\sum_{k=m}^{n}C_{n}^{k}\left [\text{(n-m) chẵn} \right] }{C_{2n}^{n}}.$
trong đó :
$\left [P\right ]=1 $ nếu $P$ đúng, ngược lại thì bằng $0.$
Nếu vậy thì khi $n=5$, $m=1$, xác suất để có ít nhất $1$ cặp nam nữ ngồi đối diện sẽ là $\frac{C_5^1+C_5^3+C_5^5}{C_{10}^5}=\frac{16}{252}\approx 0,0635$ (lẽ ra xác suất này phải là $1$ chứ ?)
--------------------------------------------------------------------
Mình làm như sau :
Xem như các ghế xếp thành $n$ cột (mỗi cột gồm $2$ ghế đối diện)
Dễ thấy rằng khi n-p lẻ thì xác suất có ĐÚNG $p$ cặp nam nữ ngồi đối diện là bằng $0$. Vậy chỉ cần tính xác suất có ĐÚNG $p$ cặp nam nữ ngồi đối diện (với $p=n-2k$ và $m\leqslant p\leqslant n$) rồi "xichma" chúng lại.
$\left | \Omega \right |=\left ( 2n \right )!=\frac{P_{2n}^n}{n!}.(n!)^2=C_{2n}^n.(n!)^2$
Chọn $p$ cột (có nam nữ ngồi đối diện) : $C_n^{n-2k}=C_n^{2k}$ cách.
Xác định ghế dành cho nam và ghế dành cho nữ trong $p$ cột đó : $2^p=2^{n-2k}$ cách.
Chọn $k$ cột (mỗi cột gồm $2$ ghế nam ngồi đối diện) trong số $2k$ cột còn lại : $C_{2k}^k$ cách.
(Như vậy đã xác định được $n$ ghế dành cho nam và $n$ ghế dành cho nữ)
Xếp $n$ bạn nam vào $n$ ghế dành cho nam, $n$ bạn nữ vào $n$ ghế còn lại : $(n!)^2$ cách.
Vậy số cách xếp để có ĐÚNG n-2k cặp nam nữ ngồi đối diện là $C_n^{2k}.2^{n-2k}.C_{2k}^k.(n!)^2$
Và xác suất để có ít nhất $m$ cặp nam nữ ngồi đối diện là $\frac{\sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n-m}{2} \right \rfloor}C_n^{2k}.2^{n-2k}.C_{2k}^k}{C_{2n}^n}$
Với $n=5$ :
Xác suất có ít nhất $1$ cặp nam nữ đối diện là $\frac{C_5^0.2^5.C_0^0+C_5^2.2^3.C_2^1+C_5^4.2^1.C_4^2}{C_{10}^5}=1$
Xác suất có ít nhất $3$ cặp nam nữ đối diện là $\frac{C_5^0.2^5.C_0^0+C_5^2.2^3.C_2^1}{C_{10}^5}=\frac{192}{252}\approx 0,7619$
Xác suất có ít nhất $4$ cặp nam nữ đối diện là $\frac{C_5^0.2^5.C_0^0}{C_{10}^5}=\frac{32}{252}\approx 0,1270$.
- perfectstrong, Nobodyv3 và Le Tuan Canhh thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#10
Đã gửi 16-10-2022 - 07:30
Bây giờ hãy thử một phiên bản "khó" hơn chút: xác suất để có ít nhất 4 bạn nam ngồi đối diện nữ ? Có ít nhất 3 bạn nam ngồi đối diện nữ ?
Tổng quát hơn: với $2n$ bạn xếp vào bạn ($n$ nam và $n$ nữ), thì xác suất để có ít nhất $m$ bạn nam ($m \le n$) ngồi đối diện bạn nữ ?
"Rắc rối" hơn chút nữa nha ...
----------------------------------------------------
Một nhóm $12$ người gồm $4$ cặp vợ chồng, $2$ đàn ông độc thân và $2$ phụ nữ độc thân được xếp ngẫu nhiên vào $2$ hàng ghế đối diện, mỗi hàng có $6$ ghế. Tính xác suất có ĐÚNG $2$ cặp vợ chồng ngồi đối diện ?
- perfectstrong và Nobodyv3 thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#11
Đã gửi 30-10-2022 - 16:33
"Rắc rối" hơn chút nữa nha ...
----------------------------------------------------
Một nhóm $12$ người gồm $4$ cặp vợ chồng, $2$ đàn ông độc thân và $2$ phụ nữ độc thân được xếp ngẫu nhiên vào $2$ hàng ghế đối diện, mỗi hàng có $6$ ghế. Tính xác suất có ĐÚNG $2$ cặp vợ chồng ngồi đối diện ?
Xem như các ghế xếp thành $6$ cột, mỗi cột gồm $2$ ghế đối diện.
- Chọn $2$ cột (dành cho $2$ cặp vợ chồng ngồi đối diện) : $C_6^2=15$ cách.
- Chọn $2$ cặp vợ chồng may mắn và xếp đứng vào trước $2$ cột đó : $4.3=12$ cách.
- Xếp $2$ cặp vợ chồng vào các ghế của $2$ cột đó : $2^2=4$ cách.
Xếp chỗ cho $8$ người còn lại :
TH1 : Có $2$ cặp "ông nọ, bà kia" (tức là có $2$ phụ nữ đã kết hôn ngồi đối diện với $2$ đàn ông đã kết hôn nhưng không phải chồng của mình)
- Chọn $2$ cột (dành cho $2$ cặp này) : $C_4^2=6$ cách.
- Xếp $2$ phụ nữ đã kết hôn đứng trước $2$ cột này : $2$ cách.
- Chọn ghế cho $2$ phụ nữ này : $2^2=4$ cách (khi đó ghế của $2$ đàn ông đã kết hôn cũng được xác định)
- Chọn ghế cho $4$ người độc thân còn lại : $4!=24$ cách.
TH2 : Có đúng $1$ cặp "ông nọ, bà kia" (có đúng $1$ cặp nam nữ đã kết hôn ngồi đối diện với nhau nhưng không phải vợ chồng)
- Chọn $2$ cột (dành cho $2$ phụ nữ đã kết hôn) : $6$ cách.
- Xếp $2$ phụ nữ đã kết hôn vào đứng trước $2$ cột đó : $2$ cách.
- Chọn ghế cho $2$ quý bà này : $4$ cách.
- Chọn $1$ quý ông đã kết hôn : $2$ cách (người này sẽ được ngồi đối diện với quý bà đã kết hôn nhưng không phải vợ mình)
- Chọn ghế cho quý ông đã có vợ còn lại : $4$ cách (vì ghế của người này phải thuộc $1$ trong $2$ cột chưa có ai ngồi)
- Xếp chỗ cho $4$ người độc thân : $24$ cách.
TH3 : Không có cặp "ông nọ, bà kia" nào ($4$ người đã kết hôn đều ngồi đối diện với người độc thân)
- Xếp $4$ người đã kết hôn đứng trước $4$ cột : $24$ cách.
- Chọn ghế cho $4$ người này : $2^4=16$ cách.
- Xếp $4$ người độc thân vào $4$ ghế còn lại : $24$ cách.
Xác suất cần tính là $P=\frac{15.12.4.(6.2.4.24+6.2.4.2.4.24+24.16.24)}{12!}=\frac{720.19584}{12!}\approx 0,029437$
- perfectstrong và Nobodyv3 thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh