Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh

Độ tin cậy của hệ thống $k-out-of-n:F$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4584 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 06-10-2022 - 01:57

Một hệ thống có $n$ máy, đánh số $i = 1, \ldots, n$. Ta đặt $F_i(t) : \mathbb{R}^{\ge 0} \rightarrow [0;1] $ là hàm biểu diễn xác suất máy $i$ bị hư (failure) tại thời điểm $t \ge 0$. Theo thông lệ, ta xét $F_i$ liên tụctăng. Nói nôm na: máy càng sử dụng lâu thì càng có nguy cơ bị hư hỏng.

Hệ thống được gọi là $k-out-of-n:F$ nếu hệ thống chỉ bị coi là khi có ít nhất $k$ máy bị hư (tức là có ít nhất $n-k+1$ máy còn hoạt động). Ta sẽ tính toán độ tin cậy (reliability) $R(t)$, tức là xác suất chưa bị hư, của hệ thống tại thời điểm $t$.

$$\begin{equation}\label{eq_rel_fun} R\left( t \right) = \sum\limits_{l < k} {\sum\limits_{\sigma  \in {S}\left( n,l \right)} {\prod\limits_{1 \le j \le n \\j \in \sigma}^{} {{F_j}\left( t \right)} \prod\limits_{1 \le j \le n \\ j\not  \in \sigma}^{} {\left( {1 - {F_j}\left( t \right)} \right)} } }\end{equation} $$

Trong đó, $S(n,l)$ là tập hợp các tập con có đúng $l$ phần tử của tập $\{1,2,\ldots,n\}$.

 

Một số ví dụ kinh điển là:

* $k=1$ (Hệ thống series (chuỗi)): Hệ thống sẽ hư nếu có máy nào đó hư. Nghĩa là, xác suất hệ thống chưa hư là xác suất chưa máy nào bị hư. Khi đó (1) trở thành:

\[\begin{equation}\label{eq_rel_series} {R_{k = 1}}\left( t \right) = \prod\limits_{1 \le j \le n}^{} {\left( {1 - {F_j}\left( t \right)} \right)}\end{equation} \]

* $k=n$ (Hệ thống parallel (song song)): Hệ thống sẽ hư nếu mọi máy đều hư. Nghĩa là, xác suất hệ thống chưa hư là phần bù của biến cố tất cả máy đều hư. Khi đó (1) trở thành:

\[\begin{equation}\label{eq_rel_parallel} {R_{k = n}}\left( t \right) = 1 - \prod\limits_{1 \le j \le n}^{} {{F_j}\left( t \right)} \end{equation} \]

* $k=2, n=3$: để tiện ghi chép, ta lượt bỏ phần biến số $t$. Khi đó, (1) trở thành:

\[{R_{k = 2,n = 3}} = \left( {1 - {F_1}} \right)\left( {1 - {F_2}} \right)\left( {1 - {F_3}} \right) + {F_1}\left( {1 - {F_2}} \right)\left( {1 - {F_3}} \right) + {F_2}\left( {1 - {F_1}} \right)\left( {1 - {F_3}} \right) + {F_3}\left( {1 - {F_1}} \right)\left( {1 - {F_2}} \right)\]

 

Câu hỏi mà mình muốn thảo luận là: có cách nào để "đơn giản hóa" (1) không? Hoặc là đánh giá chặn dưới, chặn trên ?


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#2 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4584 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 03-11-2022 - 15:07

Một kết quả kinh điển và trực quan là, nếu $F_j$ giảm thì $R$ tăng.
Chứng minh: Ta thấy rằng $R$ đối xứng theo $F_1,F_2,\ldots,F_n$. Do đó, ta chỉ cần chứng minh cho $F_n$ là đủ.
Trước hết, ta có nhận xét sau:
\[\begin{align*}
{R_{\left( {\substack{n\\k}} \right)}} & = \sum\limits_{l < k} {\sum\limits_{\sigma  \in S\left( {n,l} \right)} {\prod\limits_{\substack{1 \le j \le n\\j \in \sigma} }^{} {{F_j}} \prod\limits_{\substack{1 \le j \le n\\j\not  \in \sigma} }^{} {\left( {1 - {F_j}} \right)} } } \\
& = {F_n}\left( {\sum\limits_{l < k - 1} {\sum\limits_{\sigma  \in S\left( {n - 1,l} \right)} {\prod\limits_{\substack{1 \le j \le n - 1\\j \in \sigma} }^{} {{F_j}} \prod\limits_{\substack{1 \le j \le n - 1\\ j\not  \in \sigma} }^{} {\left( {1 - {F_j}} \right)} } } } \right) + \left( {1 - {F_n}} \right)\left( {\sum\limits_{l < k} {\sum\limits_{\sigma  \in S\left( {n - 1,l} \right)} {\prod\limits_{1 \le j \le n - 1\atop
j \in \sigma }^{} {{F_j}} \prod\limits_{\substack{1 \le j \le n - 1\\j\not  \in \sigma} }^{} {\left( {1 - {F_j}} \right)} } } } \right)\\
& = {F_n}{R_{\left( {\substack{n - 1\\k - 1}} \right)}} + \left( {1 - {F_n}} \right){R_{\left( {\substack{n - 1\\k}} \right)}}
\end{align*}\]
Do đó:

\[\frac{{d{R_{\left( {\substack{n\\k}} \right)}}}}{{d{F_n}}} = {R_{\left( {\substack{n - 1\\k - 1}} \right)}} - {R_{\left( {\substack{n - 1\\k}} \right)}} = - \sum\limits_{\sigma \in S\left( {n,k} \right)} {\prod\limits_{\substack{1 \le j \le n - 1\\j \in \sigma }}^{} {{F_j}} \prod\limits_{\substack{1 \le j \le n - 1\\j\not \in \sigma }}^{} {\left( {1 - {F_j}} \right)} } \le 0\]


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh