Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển lớp 12 - VMO - Bà Rịa-Vũng Tàu 2022-2023

tst olympiad vmo 2023 vũng tàu bà rịa - vũng tàu

  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 hoangvipmessi97

hoangvipmessi97

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 15 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu

Đã gửi 07-10-2022 - 09:54

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2022-2023

Thời gian làm bài: 180 phút

Ngày thi: 27/09/2022

 

Bài 1 (4,0 điểm).

a) Xét các số thực $a,b,c$ thay đổi trên đoạn $[1;2]$ sao cho $a^2+b^2+c^2=6$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=4 \left ( \dfrac{bc^2}{a+b} +\dfrac{ca^2}{b+c} + \dfrac{ab^2}{c+a} \right )+ab+bc+ca$.

b) Tồn tại hay không đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên thỏa mãn: $P(1+ \sqrt[3]{3})=2 \sqrt[3]{3}+4$ và $P(2+ \sqrt{6})=3+ \sqrt{6}$?

 

Bài 2 (3,0 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $u_1=1;u_{n+1}=u_n+ \dfrac{2}{u_n} + \dfrac{n}{u_n^4}$ với mọi $n$ nguyên dương. 

Chứng minh dãy số $(y_n)$ với $y_n= \dfrac{u_n}{ \sqrt{n}}$ ($n$ nguyên dương) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

 

Bài 3 (5,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ không cân nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. $H$ là hình chiếu vuông góc của $D$ lên $EF$. Tia $IH$ cắt đường tròn $(O)$ tại $K$. Đường tròn ngoại tiếp hai tam giác $KBF,KCE$ cắt nhau tại $T$ khác $K$. Gọi $M$ là trung điểm $TD$. Qua $M$ kẻ tiếp tuyến $MN$ của đường tròn $(I)$ ($N$ là tiếp điểm khác $D$).

a) Chứng minh $T,E,F$ thẳng hàng và đường tròn ngoại tiếp tam giác $NBC$ tiếp xúc $(I)$.

b) $AN$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $NBC$ ở $S$ khác $N$. Hai tiếp tuyến của đường tròn $(I)$ kẻ từ $S$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $NBC$ lần lượt tại $P,Q$. Chứng minh hai đường thẳng $PQ$ và $BC$ song song với nhau.

 

Bài 4 (2,0 điểm). Kí hiệu $\mathbb{R^+}$ là tập hợp các số thực dương. Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$ sao cho với mọi số thực dương $x,y$ thì $f(x+f(y))=yf(1+xy)$.

 

Bài 5 (3,0 điểm). Tìm tất cả các số nguyên dương $a$ và $n$ cùng lớn hơn 1 sao cho $a^n-1$ chia hết cho $n^a$.

 

Bài 6 (3,0 điểm). Hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh là 2023 được chia thành $2023^2$ ô vuông đơn vị. Ta kí hiệu $(m,n)$ là ô ở hàng thứ $m$ và cột thứ $n$. Người ta tô tất cả các ô vuông đơn vị bởi hai màu xanh, đỏ sao cho hai ô khác nhau đối xứng qua đường thẳng $AC$ thì được tô khác màu. Gọi $S$ là tập hợp các bộ ba số $m,n,p$ đôi một khác nhau (không phân biệt thứ tự); $m,n,p \in \{ 1;2;3;...;2023 \}$ sao cho các ô $(m,n), \ (n,p)$ và $(p,m)$ có cùng màu. Kí hiệu $|S|$ là số phần tử tập hợp $S$.

a) Tồn tại hay không cách tô màu sao cho $|S|=0$?

b) Chứng minh rằng: $|S| \leq 1^2+2^2+...+1011^2$.

 

HẾT

 

Hình gửi kèm

  • 310403384_5952678401433018_6167549490089853717_n.jpg






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tst, olympiad, vmo, 2023, vũng tàu, bà rịa - vũng tàu

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh