Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển lớp 12 - VMO - Bà Rịa-Vũng Tàu 2022-2023

tst olympiad vmo 2023 vũng tàu bà rịa - vũng tàu

  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1
hoangvipmessi97

hoangvipmessi97

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 15 Bài viết

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2022-2023

Thời gian làm bài: 180 phút

Ngày thi: 27/09/2022

 

Bài 1 (4,0 điểm).

a) Xét các số thực $a,b,c$ thay đổi trên đoạn $[1;2]$ sao cho $a^2+b^2+c^2=6$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=4 \left ( \dfrac{bc^2}{a+b} +\dfrac{ca^2}{b+c} + \dfrac{ab^2}{c+a} \right )+ab+bc+ca$.

b) Tồn tại hay không đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên thỏa mãn: $P(1+ \sqrt[3]{3})=2 \sqrt[3]{3}+4$ và $P(2+ \sqrt{6})=3+ \sqrt{6}$?

 

Bài 2 (3,0 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $u_1=1;u_{n+1}=u_n+ \dfrac{2}{u_n} + \dfrac{n}{u_n^4}$ với mọi $n$ nguyên dương. 

Chứng minh dãy số $(y_n)$ với $y_n= \dfrac{u_n}{ \sqrt{n}}$ ($n$ nguyên dương) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

 

Bài 3 (5,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ không cân nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. $H$ là hình chiếu vuông góc của $D$ lên $EF$. Tia $IH$ cắt đường tròn $(O)$ tại $K$. Đường tròn ngoại tiếp hai tam giác $KBF,KCE$ cắt nhau tại $T$ khác $K$. Gọi $M$ là trung điểm $TD$. Qua $M$ kẻ tiếp tuyến $MN$ của đường tròn $(I)$ ($N$ là tiếp điểm khác $D$).

a) Chứng minh $T,E,F$ thẳng hàng và đường tròn ngoại tiếp tam giác $NBC$ tiếp xúc $(I)$.

b) $AN$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $NBC$ ở $S$ khác $N$. Hai tiếp tuyến của đường tròn $(I)$ kẻ từ $S$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $NBC$ lần lượt tại $P,Q$. Chứng minh hai đường thẳng $PQ$ và $BC$ song song với nhau.

 

Bài 4 (2,0 điểm). Kí hiệu $\mathbb{R^+}$ là tập hợp các số thực dương. Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$ sao cho với mọi số thực dương $x,y$ thì $f(x+f(y))=yf(1+xy)$.

 

Bài 5 (3,0 điểm). Tìm tất cả các số nguyên dương $a$ và $n$ cùng lớn hơn 1 sao cho $a^n-1$ chia hết cho $n^a$.

 

Bài 6 (3,0 điểm). Hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh là 2023 được chia thành $2023^2$ ô vuông đơn vị. Ta kí hiệu $(m,n)$ là ô ở hàng thứ $m$ và cột thứ $n$. Người ta tô tất cả các ô vuông đơn vị bởi hai màu xanh, đỏ sao cho hai ô khác nhau đối xứng qua đường thẳng $AC$ thì được tô khác màu. Gọi $S$ là tập hợp các bộ ba số $m,n,p$ đôi một khác nhau (không phân biệt thứ tự); $m,n,p \in \{ 1;2;3;...;2023 \}$ sao cho các ô $(m,n), \ (n,p)$ và $(p,m)$ có cùng màu. Kí hiệu $|S|$ là số phần tử tập hợp $S$.

a) Tồn tại hay không cách tô màu sao cho $|S|=0$?

b) Chứng minh rằng: $|S| \leq 1^2+2^2+...+1011^2$.

 

HẾT

 

Hình gửi kèm

  • 310403384_5952678401433018_6167549490089853717_n.jpg






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tst, olympiad, vmo, 2023, vũng tàu, bà rịa - vũng tàu

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh