Chủ đề này có 1 trả lời

[Math04]

Tam giác $ABC$ có $AD, BE, CF$ là các đường cao đồng quy ở $H$ và $X$ là tâm $(DEF)$, gọi $K, L$ là trung điểm $HB, HC$. Giả sử $FK$ cắt $DE$ tại $M, EL$ cắt $DF$ tại $N$ và $DK, DL$ lần lượt cắt $EF$ ở $P, Q$. Chứng minh $PM, QN, AX$ đồng quy.

[dat09]

Gọi $PM$ cắt $QN$ tại $G$, $QN$ cắt $DE$ tại $S$, $PM$ cắt $DF$ tại $T$, $EL$ cắt $FK$ tại $R$.

Ta biến đổi tương đương:

$F(RE,AX)=E(RF,AX)\Leftrightarrow F(KE,BX)=E(LF,CX)$

$\Leftrightarrow \frac{\sin (FK,KB)}{\sin (FK,FX)}:\frac{\sin (FE,FB)}{\sin (FE,FX)}=\frac{\sin (EL,EC)}{\sin (EL,EX)}:\frac{\sin (EF,EC)}{\sin (EF,EX)}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sin (FK,FX).\sin (FE,FB)}=\frac{1}{\sin (EL,EX).\sin (EF,EC)}$

$\Leftrightarrow \cos\angle FLK.\sin\angle ACB=\cos \angle EKL.\sin\angle ABC$

$\Leftrightarrow \sin \angle ABC.\sin\angle ACB=\sin\angle ACB.\sin\angle ABC$ (hiển nhiên)

Suy ra $R,A,X$ thẳng hàng (1)

Dễ thấy chùm $E(TK,FD)=-1$ có $EK$ là phân giác của $\angle DEF$ nên $EK \perp ET$ hay $E,A,T$ thẳng hàng. Tương tự, $F,A,S$ cũng thẳng hàng. Áp dụng định lí Pappus cho 6 điểm $F,T,N,M,S,E$ ta được $A,R,G$ thẳng hàng hay $AR,PM,QN$ đồng quy (2)

Từ (1) và (2) suy ra $PM,QN,AX$ đồng quy.