Chủ đề này có 1 trả lời

[Le Tuan Canhh]

GPT: $\sqrt{x^{2}-x+1}=\frac{x^{3}+3x^{2}-4x+1}{x^{2}+3}$

[HaiDangPham]

Ý tưởng là thêm bớt vào hai vế phương trình cùng một biểu thức sao cho sau khi nhân liên hợp vế trái và rút gọn vế phải ta cho ra cùng một biểu thức hoặc ít nhất là xuất hiện nhân tử chung. Dự đoán biểu thức cần thêm bớt vào là $ax+b$.  Khi đó sau khi đồng nhất hệ số hai vế ta thu được $a=1, b=3$. 

 

Lời giải. Trừ cả hai vế phương trình cho $x+3$, sau đó nhân liên hợp vế trái và rút gọn vế phải ta được phương trình tương đương là 

$ \frac{-7x-8}{\sqrt{x^2-x+1}+x+3}=\frac{-7x-8}{x^2+3}$ 

Xét trường hợp $x\neq \frac{-8}{7}$ khi đó ta có phương trình 

$ \sqrt{x^2-x+1}+x+3 =x^2+3$ 

Trừ cả hai vế đi $x+3$ ta được 

$\sqrt{x^2-x+1}=x^2-x$

Đặt $\sqrt{x^2-x+1}=y$ phương trình trên trở thành 

$y^2-y-1=0$ 

Giải ra ta được nghiệm dương là  $y=y_0=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Do đó

$x^2-x+1-y_0^2=0$ 

Phương trình trên có $\Delta=4y_0^2-3=2\sqrt{5}+3$. Suy ra phương trình có nghiệm

$x=\frac{1\pm \sqrt{2\sqrt{5}+3}}{2}$

Tóm lại phương trình ban đầu có tập nghiệm là 

$S=\left \{ \frac{-8}{7}; \frac{1\pm \sqrt{2\sqrt{5}+3}}{2} \right\}$