3/ Tung một xúc xắc 10 lần. Tính xác suất để có ít nhất một mặt xuất hiện đúng một lần.
Gọi số lần xuất hiện mặt $i$ chấm là $x_i$. Ta có :
$x_1+x_2+x_3+...+x_6=10$ $(^*)$
Phương trình $(^*)$ có $M=C_{15}^5=3003$ nghiệm nguyên không âm. Trong đó, gọi $M_i$ là số nghiệm có ĐÚNG $i$ ẩn nhận giá trị $1$.
Ta tính $M_5$ :
Chọn $5$ trong $6$ số hạng : $C_6^5$ cách. ($5$ số hạng này sẽ nhận giá trị $1$)
Gán giá trị cho số hạng còn lại : $1$ cách (chỉ có thể gán giá trị $5$)
$\Rightarrow M_5=1.C_6^5=6.$
Tính $M_4$ :
Chọn $4$ trong $6$ số hạng : $C_6^4$ cách. ($4$ số hạng này sẽ nhận giá trị $1$)
Gán giá trị (khác $1$) cho $2$ số hạng còn lại : $5$ cách.
(Phương trình $a+b=6$ chỉ có $5$ nghiệm nguyên không âm thỏa mãn $a\neq 1,b\neq 1$)
$\Rightarrow M_4=5.C_6^4=75$.
Tính $M_3$ :
Chọn $3$ trong $6$ số hạng : $C_6^3$ cách.
Gán giá trị (khác $1$) cho $3$ số hạng còn lại : $C_9^2-5C_3^1-1C_3^2=18$ cách.
(Phương trình $a+b+c=7$ có $C_9^2$ nghiệm nguyên không âm, trong đó có $5C_3^1$ nghiệm có đúng $1$ ẩn bằng $1$ và $1C_3^2$ nghiệm có đúng $2$ ẩn bằng $1$)
$\Rightarrow M_3=18.C_6^3=360$.
Tính $M_2$ :
Chọn $2$ trong $6$ số hạng : $C_6^2$ cách.
Gán giá trị (khác $1$) cho $4$ số hạng còn lại : $C_{11}^3-18C_4^1-5C_4^2-1C_4^3=59$ cách.
(Phương trình $a+b+c+d=8$ có $C_{11}^3$ nghiệm nguyên không âm, trong đó có $18C_4^1$ nghiệm có đúng $1$ ẩn bằng $1$, $5C_4^2$ nghiệm có đúng $2$ ẩn bằng $1$ và $1C_4^3$ nghiệm có đúng $3$ ẩn bằng $1$)
$\Rightarrow M_2=59.C_6^2=885$.
Tương tự, tính được $M_1=185.C_6^1=1110$.
Đáp án là $P=\frac{M_1+M_2+...+M_5}{M}=\frac{2436}{3003}\approx 0,8112$.