Cho phương trình $ax^{3}+27x^{2}+12x+2022=0$ có 3 nghiệm thực phân biệt. Hỏi phương trình sau có bao nhiêu nghiệm thực:
$4(ax^{3}+27x^{2}+12x+2022)(3ax+27)=(3ax^{2}+54x+12)^{2}$ $,a\neq 0$
Cho phương trình $ax^{3}+27x^{2}+12x+2022=0$ có 3 nghiệm thực phân biệt. Hỏi phương trình sau có bao nhiêu nghiệm thực:
$4(ax^{3}+27x^{2}+12x+2022)(3ax+27)=(3ax^{2}+54x+12)^{2}$ $,a\neq 0$
Dư Hấu
Ở đây mình sẽ xử lí bài toán tổng quát: Cho đa thức $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ có ba nghiệm thực phân biệt. Chứng minh rằng phương trình
\[(12ax+4b)(ax^3+bx^2+cx+d)=(3ax^2+2bx+c)^2\]
có hai nghiệm thực phân biệt.
Lời giải. Thấy ngay phương trình cần quan tâm chính là $2f''(x)\cdot f(x)=(f'(x))^2$ nên xét hàm
\[G(x)=2f''(x)\cdot f(x)-(f'(x))^2.\]
Gọi ba nghiệm của $f$ là $x_1<x_2<x_3$ thì
Vậy $G'(x)$ cũng có ba nghiệm là $x_1,x_2,x_3$. Sau đây là bảng biến thiên
Từ đây ta thấy rằng $G(x)$ chỉ có $2$ nghiệm thực phân biệt.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 21-10-2022 - 05:53
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh