Đến nội dung

Hình ảnh

Hỏi phương trình $4(ax^{3}+27x^{2}+12x+2022)(3ax+27)=(3ax^{2}+54x+12)^{2}$có bao nhiêu nghiệm thực:

đạo hàm

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Le Tuan Canhh

Le Tuan Canhh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết

Cho phương trình $ax^{3}+27x^{2}+12x+2022=0$ có 3 nghiệm thực phân biệt. Hỏi phương trình sau có bao nhiêu nghiệm thực: 

$4(ax^{3}+27x^{2}+12x+2022)(3ax+27)=(3ax^{2}+54x+12)^{2}$ $,a\neq 0$


Dư :unsure: Hấu   


#2
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

Ở đây mình sẽ xử lí bài toán tổng quát: Cho đa thức $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ có ba nghiệm thực phân biệt. Chứng minh rằng phương trình 

\[(12ax+4b)(ax^3+bx^2+cx+d)=(3ax^2+2bx+c)^2\]

có hai nghiệm thực phân biệt.

 

Lời giải. Thấy ngay phương trình cần quan tâm chính là $2f''(x)\cdot f(x)=(f'(x))^2$ nên xét hàm

\[G(x)=2f''(x)\cdot f(x)-(f'(x))^2.\]

Gọi ba nghiệm của $f$ là $x_1<x_2<x_3$ thì

\begin{align*}G'(x)&=2\left(f^{(3)}(x)\cdot f(x)+f'(x)\cdot f''(x)\right)-2f'(x)\cdot f''(x)\\ &=2f^{(3)}(x)\cdot f(x)\\&=12a^2(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3).\end{align*}

Vậy $G'(x)$ cũng có ba nghiệm là $x_1,x_2,x_3$. Sau đây là bảng biến thiên

bbt.PNG

Từ đây ta thấy rằng $G(x)$ chỉ có $2$ nghiệm thực phân biệt.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 21-10-2022 - 05:53

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: đạo hàm

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh