Đến nội dung

Hình ảnh

$abc(a+b+c)\leq 3$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
VHTuan

VHTuan

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

Với a,b,c là các số không âm thoả $(a+1)(b+1)(c+1)=8$. CMR $abc(a+b+c)\leq 3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 18-10-2022 - 21:17
Tiêu đề + LaTeX


#2
nguyenhuybao06

nguyenhuybao06

    Hạ sĩ

  • Hái lộc VMF 2024
  • 76 Bài viết
Ta có bất đẳng thức quen thuộc $$(ab+bc+ca)^2\geq3abc(a+b+c)$$
Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $$8=(a+1)(b+1)(c+1)\geq8\sqrt{abc}$$
Suy ra $$abc\leq1$$
Nên $$abc\leq\sqrt[3]{abc}$$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $$ab+bc+ca\geq3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\geq3a^2b^2c^2$$
Khai triển giả thiết ta thu được $$a+b+c+ab+bc+ca+abc=7$$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $$7=a+b+c+ab+bc+ca+abc\geq7\sqrt[7]{\frac{(a+b+c)^3(ab+bc+ca)^3abc}{3^{6}}}$$
Hay $$1\geq\frac{(a+b+c)^3(ab+bc+ca)^3abc}{3^{6}}\geq\frac{3^2(a+b+c)^{4}(abc)^{4}}{3^{6}}$$
Suy ra $$3^{4}\geq(a+b+c)^{4}(abc)^{4}$$
Hay $$3\geq abc(a+b+c)$$
Hoàn tất chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Mình giải hơi tắt, mong mọi người thông cảm ạ. 

Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh