Với $n$ là số nguyên dương cho trước, tìm số các từ có độ dài $n$ trên một từ điển có 3 chữ cái ${a,b,c}$ sao cho chữ cái $a$ xuất hiện một số lẻ lần.
Tìm số các từ có độ dài $n$ trên một từ điển có 3 chữ cái ${a,b,c}$ sao cho chữ cái $a$ xuất hiện một số lẻ lần.
#1
Đã gửi 20-10-2022 - 21:23
#2
Đã gửi 21-10-2022 - 03:00
Xét hàm sinh: \[F\left( x \right) = \frac{x}{{1 - {x^2}}}{\left( {\frac{1}{{1 - x}}} \right)^2}\]
Đáp án cần tìm là $[x^n]F(x)$. Hy vọng Nobodyv3 tiếp sức
- Nobodyv3 yêu thích
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#3
Đã gửi 21-10-2022 - 07:46
Tiến hành tách phân thức :Xét hàm sinh: \[F\left( x \right) = \frac{x}{{1 - {x^2}}}{\left( {\frac{1}{{1 - x}}} \right)^2}\]
Đáp án cần tìm là $[x^n]F(x)$. Hy vọng Nobodyv3 tiếp sức
$\begin {align*}
F(x)&=\frac{x}{1-x^2}\frac{1}{\left ( 1-x \right )^2}\\&=\frac{1}{2}\frac{1}{\left ( 1-x \right )^3}-\frac{1}{8}\frac{1}{1+x}-\frac{1}{8}\frac{1}{1-x}-\frac{1}{4}\frac{1}{\left ( 1-x \right )^2}
\end{align*}$
Do đó,
$\begin{align*}
\Longrightarrow\boldsymbol {[x^n]F(x)}&=\frac{1}{2}\binom{n+2}{2}-\frac{(-1)^n}{8}-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}(n+1)\\&=\frac{n^2+n}{4}-\frac{(-1)^n+1}{8}
\end{align*} $
=========
Tuy nhiên,....
Em hiểu ý của anh, nhưng riêng bài này và từ ý tưởng của anh, em nghĩ tốt nhất là dùng hàm sinh mũ để giải :
Xét hàm sinh :
$f(x)=e^{2x}\cdot \frac{e^x-e^{-x}}{2}\\
f(x)=\frac{e^{3x}-e^x}{2}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty }\left ( 3^n-1 \right )\frac{x^n}{n!}$
Vậy số các từ thỏa đề bài là $\boxed {\frac{3^n-1}{2}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 21-10-2022 - 12:39
- perfectstrong và hxthanh thích
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
#4
Đã gửi 21-10-2022 - 13:22
Tiến hành tách phân thức :
$\begin {align*}
F(x)&=\frac{x}{1-x^2}\frac{1}{\left ( 1-x \right )^2}\\&=\frac{1}{2}\frac{1}{\left ( 1-x \right )^3}-\frac{1}{8}\frac{1}{1+x}-\frac{1}{8}\frac{1}{1-x}-\frac{1}{4}\frac{1}{\left ( 1-x \right )^2}
\end{align*}$
Do đó,
$\begin{align*}
\Longrightarrow\boldsymbol {[x^n]F(x)}&=\frac{1}{2}\binom{n+2}{2}-\frac{(-1)^n}{8}-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}(n+1)\\&=\frac{n^2+n}{4}-\frac{(-1)^n+1}{8}
\end{align*} $
=========
Tuy nhiên,....
Em hiểu ý của anh, nhưng riêng bài này và từ ý tưởng của anh, em nghĩ tốt nhất là dùng hàm sinh mũ để giải :
Xét hàm sinh :
$f(x)=e^{2x}\cdot \frac{e^x-e^{-x}}{2}\\
f(x)=\frac{e^{3x}-e^x}{2}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty }\left ( 3^n-1 \right )\frac{x^n}{n!}$
Vậy số các từ thỏa đề bài là $\boxed {\frac{3^n-1}{2}}$
Cảm ơn em đã xử lý nốt Tuy nhiên, kết quả lại không trùng nhau. Nhìn lại thì có vẻ hàm anh đưa ra chỉ mới xét tới số nghiệm nguyên của $2S(a)+S(b)+S(c)=n$ mà chưa tính tới sự hoán vị của các phần tử.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#5
Đã gửi 21-10-2022 - 14:49
Đúng vậy đó anh!Cảm ơn em đã xử lý nốt Tuy nhiên, kết quả lại không trùng nhau. Nhìn lại thì có vẻ hàm anh đưa ra chỉ mới xét tới số nghiệm nguyên của $2S(a)+S(b)+S(c)=n$ mà chưa tính tới sự hoán vị của các phần tử.
Đây cũng là lý do mà em không dùng hàm sinh thường (OGF) mà sử dụng hàm sinh mũ (EGF) để giải bài này.
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh