Đến nội dung

Hình ảnh

$f(xf(y)+4)=yf(x+y+4)$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 675 Bài viết

Tìm tất cả hàm số $f\colon (0,+\infty)\to (0,+\infty)$ thỏa mãn 

\[f(xf(y)+4)=yf(x+y+4),\quad \forall x,y\in (0,+\infty).\]


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:


#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Không biết có lỗi sai nào không, mong mọi người góp ý.

Giả sử tồn tại $a,b$ mà $\begin{cases} 0 < a < b \\ f(a) < f(b)\end{cases}$.

Xét hệ phương trình ẩn $m,n$: $\begin{cases} mf(a) +4 = nf(b) + 4 \\ m + a + 4 = n + b + 4 \end{cases}$.

Hệ trên có nghiệm dương duy nhất $\displaystyle\begin{cases} m = \dfrac{f(b) . (b-a)}{f(b) - f(a)} \\ n = \dfrac{f(a) . (b-a)}{f(b) - f(a)}\end{cases}$.

Do đó sử dụng phép thế $P(m; a)$ và $P(n;b)$ ta suy ra $a = b$, mâu thuẫn.

Suy ra $f$ là hàm không giảm.

Với mọi $x>0$, $0 < y<1$ ta có $f(xf(y) + 4) = yf(x+y+4) < f(x+y+4)$

$\Rightarrow xf(y) + 4> x + y + 4$

$\Rightarrow x(f(y) - 1) > y$.

Mặt khác cho $x\to 0$ thì $x(f(y) - 1)\to 0$, vô lí.

Vậy không tồn tại hàm $f$ thoả mãn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 26-10-2022 - 14:32


#3
chuyenndu

chuyenndu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 177 Bài viết

example 5 File gửi kèm  inequality and sequence (to solve in R+).pdf   304.37K   63 Số lần tải


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chuyenndu: 25-10-2022 - 14:32


#4
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 675 Bài viết

Trong file này thấy dài ghê  :wacko: , cách làm sau hoàn toàn có thể sử dụng để xử lí bài toán tổng quát đã nêu.

 

Tìm tất cả hàm số $f\colon (0,+\infty)\to (0,+\infty)$ thỏa mãn 

\[f(xf(y)+4)=yf(x+y+4),\quad \forall x,y\in (0,+\infty).\]

Giả sử tồn tại $y_0\neq 1$ sao cho $f(y_0)>1$. Khi đó thay $x:=\frac{y_0}{f(y_0)-1}$ và $y:=y_0$ vào giả thiết thu được $y_0=1$ (vô lí). Vậy với mọi $y\neq 1$ thì $f(y)\le 1$, do vậy từ giả thiết suy ra

\[f(xf(y)+4)\le y.\]

Thay $x:=\frac{1}{f\left(\frac{f(5)}{2}\right)}$ và $y=\frac{f(5)}{2}$ vào bất đẳng thức sẽ dẫn tới mâu thuẫn. Vậy không tồn tại hàm thỏa đề.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 26-10-2022 - 14:28

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh