Tìm tất cả hàm số $f\colon (0,+\infty)\to (0,+\infty)$ thỏa mãn
\[f(xf(y)+4)=yf(x+y+4),\quad \forall x,y\in (0,+\infty).\]
Tìm tất cả hàm số $f\colon (0,+\infty)\to (0,+\infty)$ thỏa mãn
\[f(xf(y)+4)=yf(x+y+4),\quad \forall x,y\in (0,+\infty).\]
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
Không biết có lỗi sai nào không, mong mọi người góp ý.
Giả sử tồn tại $a,b$ mà $\begin{cases} 0 < a < b \\ f(a) < f(b)\end{cases}$.
Xét hệ phương trình ẩn $m,n$: $\begin{cases} mf(a) +4 = nf(b) + 4 \\ m + a + 4 = n + b + 4 \end{cases}$.
Hệ trên có nghiệm dương duy nhất $\displaystyle\begin{cases} m = \dfrac{f(b) . (b-a)}{f(b) - f(a)} \\ n = \dfrac{f(a) . (b-a)}{f(b) - f(a)}\end{cases}$.
Do đó sử dụng phép thế $P(m; a)$ và $P(n;b)$ ta suy ra $a = b$, mâu thuẫn.
Suy ra $f$ là hàm không giảm.
Với mọi $x>0$, $0 < y<1$ ta có $f(xf(y) + 4) = yf(x+y+4) < f(x+y+4)$
$\Rightarrow xf(y) + 4> x + y + 4$
$\Rightarrow x(f(y) - 1) > y$.
Mặt khác cho $x\to 0$ thì $x(f(y) - 1)\to 0$, vô lí.
Vậy không tồn tại hàm $f$ thoả mãn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 26-10-2022 - 14:32
example 5 inequality and sequence (to solve in R+).pdf 304.37K 63 Số lần tải
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chuyenndu: 25-10-2022 - 14:32
Trong file này thấy dài ghê , cách làm sau hoàn toàn có thể sử dụng để xử lí bài toán tổng quát đã nêu.
Tìm tất cả hàm số $f\colon (0,+\infty)\to (0,+\infty)$ thỏa mãn
\[f(xf(y)+4)=yf(x+y+4),\quad \forall x,y\in (0,+\infty).\]
Giả sử tồn tại $y_0\neq 1$ sao cho $f(y_0)>1$. Khi đó thay $x:=\frac{y_0}{f(y_0)-1}$ và $y:=y_0$ vào giả thiết thu được $y_0=1$ (vô lí). Vậy với mọi $y\neq 1$ thì $f(y)\le 1$, do vậy từ giả thiết suy ra
\[f(xf(y)+4)\le y.\]
Thay $x:=\frac{1}{f\left(\frac{f(5)}{2}\right)}$ và $y=\frac{f(5)}{2}$ vào bất đẳng thức sẽ dẫn tới mâu thuẫn. Vậy không tồn tại hàm thỏa đề.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 26-10-2022 - 14:28
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh