Cho ma trận $A=(a_{ij})_{n\times n}$
Tính det(A) với $a_{ij}=|i-j|$?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toan0710: 22-10-2022 - 18:27
Cho ma trận $A=(a_{ij})_{n\times n}$
Tính det(A) với $a_{ij}=|i-j|$?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toan0710: 22-10-2022 - 18:27
Mình kí hiệu $c_i,h_i$ lần lượt là cột $i$ và hàng $i$.
\[\det(A)=\begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1\\ 1 & 0 & 1 & \cdots & n-3 & n-2\\ 2 & 1 & 0 & \cdots & n-4 & n-3\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ n-2 & n-3 & n-4 & \cdots & 0 & 1\\ n-1 & n-2 & n-3 & \cdots & 1 & 0 \end{vmatrix}\]
Với $i=\overline{1,n-1}$ thực hiện $c_i:=c_i-c_{i+1}$ thì
\[\det(A)=\begin{vmatrix} -1 & -1 & -1 & \cdots & -1 & n-1\\ 1 & -1 & -1 & \cdots & -1 & n-2\\ 1 & 1 & -1 & \cdots & -1 & n-3\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 1 & 1 & 1 & \cdots & -1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 0 \end{vmatrix}\]
Với $i=\overline{2,n}$ thực hiện $h_i:=h_i+h_{1}$ thì
\[\det(A)=\begin{vmatrix} -1 & -1 & -1 & \cdots & -1 & n-1\\ 0 & -2 & -2 & \cdots & -2 & 2n-3\\ 0 & 0 & -2 & \cdots & -2 & 2n-4\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -2 & n\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & n-1 \end{vmatrix}=(-1)^{n-1}2^{n-2}(n-1).\]
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh