Đến nội dung

Hình ảnh

Tính det(A) với $a_{ij}=|i-j|$?

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Toan0710

Toan0710

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

Cho ma trận $A=(a_{ij})_{n\times n}$

Tính det(A) với $a_{ij}=|i-j|$?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toan0710: 22-10-2022 - 18:27


#2
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 675 Bài viết

Mình kí hiệu $c_i,h_i$ lần lượt là cột $i$ và hàng $i$.

\[\det(A)=\begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1\\ 1 & 0 & 1 & \cdots & n-3 & n-2\\ 2 & 1 & 0 & \cdots & n-4 & n-3\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ n-2 & n-3 & n-4 & \cdots & 0 & 1\\ n-1 & n-2 & n-3 & \cdots & 1 & 0 \end{vmatrix}\]

Với $i=\overline{1,n-1}$ thực hiện $c_i:=c_i-c_{i+1}$ thì 

\[\det(A)=\begin{vmatrix} -1 & -1 & -1 & \cdots & -1 & n-1\\ 1 & -1 & -1 & \cdots & -1 & n-2\\ 1 & 1 & -1 & \cdots & -1 & n-3\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 1 & 1 & 1 & \cdots & -1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 0 \end{vmatrix}\]

Với $i=\overline{2,n}$ thực hiện $h_i:=h_i+h_{1}$ thì 

\[\det(A)=\begin{vmatrix} -1 & -1 & -1 & \cdots & -1 & n-1\\ 0 & -2 & -2 & \cdots & -2 & 2n-3\\ 0 & 0 & -2 & \cdots & -2 & 2n-4\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -2 & n\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & n-1 \end{vmatrix}=(-1)^{n-1}2^{n-2}(n-1).\]


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh