Có bao nhiêu số tự nhiên có $n$ chữ số sao cho tổng các chữ số của nó bằng $m$ ($m\leqslant 9n$) ?
Có bao nhiêu số...
Started By chanhquocnghiem, 23-10-2022 - 23:02
#1
Posted 23-10-2022 - 23:02
- perfectstrong likes this
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#2
Posted 24-10-2022 - 07:09
Ê răng quá! nhưng sẽ cố gắng...Có bao nhiêu số tự nhiên có $n$ chữ số sao cho tổng các chữ số của nó bằng $m$ ($m\leqslant 9n$) ?
(To be continued).
=========
Ta có :
Hàm sinh cho chữ số đầu : $\frac{x-x^{10}}{1-x}$
Hàm sinh cho các chữ số khác : $\frac{1-x^{10}}{1-x}$
Áp dụng qui tắc xoắn, ta có hàm sinh cho số các số thỏa yêu cầu :
$f(x)=(x-x^{10})(1-x^{10})^{n-1}(1-x)^{-n}$
Số các số thỏa yêu cầu là hệ số của số hạng chứa $x^m$ trong khai triển của $f(x)$ như sau :
$\begin{align*}[x^{m}]f(x)&=\left ( [x^{m-1}]-[x^{m-10}] \right )\sum_{k=0}^{\infty }\binom{-n}{k}(-x)^k(1-x^{10})^{n-1}\\
&=\left ( [x^{m-1}]-[x^{m-10}] \right )\sum_{k=0}^{\infty }\binom{n+k-1}{k}x^k(1-x^{10})^{n-1}\\
&=\sum_{k=0}^{m-1 }\binom{n+k-1}{k}[x^{m-1-k}](1-x^{10})^{n-1}-\sum_{k=0}^{m-10 }\binom{n+k-1}{k}[x^{m-10-k}](1-x^{10})^{n-1}\\
&=\sum_{k=0}^{m-1 }\binom{n+m-2-k}{m-1-k}[x^{k}](1-x^{10})^{n-1}-\sum_{k=0}^{m-10 }\binom{n+m-11-k}{m-10-k}[x^{k}](1-x^{10})^{n-1}\\
&=\sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{m-1}{10} \right \rfloor }\binom{n+m-2-10k}{m-1-10k}[x^{10k}](1-x^{10})^{n-1}-\sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{m-10}{10} \right \rfloor }\binom{n+m-11-10k}{m-10-10k}[x^{10k}](1-x^{10})^{n-1}\\
&=\boldsymbol {\sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{m-1}{10} \right \rfloor }\binom{n+m-2-10k}{m-1-10k}\binom{n-1}{k}(-1)^k-\sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{m}{10} \right \rfloor-1 }\binom{n+m-11-10k}{m-10-10k}\binom{n-1}{k}(-1)^k}
\end {align*}$
Edited by Nobodyv3, 24-10-2022 - 12:46.
- perfectstrong, chanhquocnghiem and Toan0710 like this
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users