Chủ đề này có 4 trả lời

[Saturina]

Cho $n$ là số tự nhiên bất kì. Chứng minh rằng: $\dfrac{S(8n)}{S(n)} \ge \dfrac {1}{8}$

( $S(n)$ là tổng các chữ số của $n$ )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Saturina: 25-10-2022 - 22:37

[perfectstrong]

$S(n)$ là gì bạn?

[Saturina]

$S(n)$ là gì bạn?

À mình quên, $S(n)$ là tổng các chữ số của $n$ nhé bạn

[nhungvienkimcuong]

Cho $n$ là số tự nhiên bất kì. Chứng minh rằng: $\dfrac{S(8n)}{S(n)} \ge \dfrac {1}{8}$

( $S(n)$ là tổng các chữ số của $n$ )

Bài này sử dụng hai nhận xét sau

$\bullet$ Với $A_1,A_2,\dots,A_m$ là các số tự nhiên thì $S(A_1+A_2+\dots+A_m)\le S(A_1)+S(A_2)+\dots+S(A_m)$       $(1)$

Chứng minh quy nạp theo $m$.

$\bullet$ Với $A,B$ là các số tự nhiên thì $S(AB)\le S(A)\cdot S(B)$       $(2)$

Từ $(1)$ suy ra $S(mA)\le mS(A)$       $(3)$

Giả sử biểu diễn dưới dạng thập phân của $B$ là $\overline{b_kb_{k-1}\dots b_1}$. Khi đó

$$\begin{align*}S(AB)&=S(A\cdot 10^{k-1}b_k+A\cdot 10^{k-2}b_{k-1}+\dots+A\cdot b_1)\\&\overset{\color{Blue}{(1)}}{\le} S(A\cdot 10^{k-1}b_k)+S(A\cdot 10^{k-2}b_{k-1})+\dots+S(A\cdot b_1)\\&=S(A\cdot b_k)+S(A\cdot b_{k-1})+\dots+S(A\cdot b_1)\\&\overset{\color{Blue}{(3)}}{\le}S(A)b_k+S(A)b_{k-1}+\dots+S(A)b_1\\&=S(A)\cdot S(B)\end{align*}$$

Từ đó ta có điều cần chứng minh như sau

\[S(n)=S(1000n)=S(125\cdot 8n)\overset{\color{Blue}{(2)}}{\le}S(125)\cdot S(8n)=8S(8n).\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 26-10-2022 - 15:00

[Saturina]

Bài này sử dụng hai nhận xét sau

$\bullet$ Với $A_1,A_2,\dots,A_m$ là các số tự nhiên thì $S(A_1+A_2+\dots+A_m)\le S(A_1)+S(A_2)+\dots+S(A_m)$       $(1)$

Chứng minh quy nạp theo $m$.

$\bullet$ Với $A,B$ là các số tự nhiên thì $S(AB)\le S(A)\cdot S(B)$       $(2)$

Từ $(1)$ suy ra $S(mA)\le mS(A)$       $(3)$

Giả sử biểu diễn dưới dạng thập phân của $B$ là $\overline{b_kb_{k-1}\dots b_1}$. Khi đó

$$\begin{align*}S(AB)&=S(A\cdot 10^{k-1}b_k+A\cdot 10^{k-2}b_{k-1}+\dots+A\cdot b_1)\\&\overset{\color{Blue}{(1)}}{\le} S(A\cdot 10^{k-1}b_k)+S(A\cdot 10^{k-2}b_{k-1})+\dots+S(A\cdot b_1)\\&=S(A\cdot b_k)+S(A\cdot b_{k-1})+\dots+S(A\cdot b_1)\\&\overset{\color{Blue}{(3)}}{\le}S(A)b_k+S(A)b_{k-1}+\dots+S(A)b_1\\&=S(A)\cdot S(B)\end{align*}$$

Từ đó ta có điều cần chứng minh như sau

\[S(n)=S(1000n)=S(125\cdot 8n)\overset{\color{Blue}{(2)}}{\le}S(125)\cdot S(8n)=8S(8n).\]

:Lời giải của bạn hay và đẹp quá, nhưng mà cho mình hỏi là làm sao bạn nghĩ ra lời giải này vậy?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Saturina: 26-10-2022 - 23:27