Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh

$\sum\limits_{} {{{\left( {C_{{2^n}}^{2k + 1}} \right)}^2}} \vdots {2^{2n + 1}}$

nhị thức newton số học chia hết số mũ đúng

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Explorer

Explorer

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 109 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-10-2022 - 20:32

Cho n nguyên dương lớn hơn 1. CMR:

\[{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{2^n}}\\
1
\end{array}} \right)^2} + {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{2^n}}\\
3
\end{array}} \right)^2} + ... + {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{2^n}}\\
{{2^n} - 1}
\end{array}} \right)^2} \vdots {2^{2n + 1}}\]


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 25-10-2022 - 20:38
Tiêu đề + LaTeX


#2 Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 508 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Codingg

Đã gửi 20-12-2022 - 14:40

Với mọi $i\in \{0; 1;...; 2^{n-1} - 1\}$ ta có: $\displaystyle\binom{2^n}{2i+1}= \frac{2^n(2^n-1)...(2^n - 2i)}{1.2...(2i+1)}$.

Do $i < 2^{n-1}$ nên $v_2(2^n - 2k) = v_2(2k),\forall k = \overline{1,i}$

$\begin{aligned} \Rightarrow v_2((2^n-1)(2^n-2)...(2^n-2i)) &= v_2(2^n - 2)+v_2(2^n-4)+...+v_2(2^n-2i)\\&=v_2(2) + v_2(4) + ... + v_2(2i) \\&= v_2(1.2...(2i+1))\end{aligned}$.

Suy ra $v_2\left(\binom{2^n}{2i+1}\right) = 2^n,\forall i = \overline{0, 2^{n-1} - 1}$.

Do đó có thể đặt $\left(\binom{2^n}{2i+1}\right)^2 = 2^{2n} . x_i$, với $2\nmid x_i$ thì $$\sum_{i=0}^{2^{n-1}-1}\binom{2^{n}}{2i+1} = 2^{2n}\sum_{i=0}^{2^{n-1}-1}x_i^2$$

Mà $\sum x_i^2\vdots 2$ nên ta có điều phải chứng minh.

 







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: nhị thức, newton, số học, chia hết, số mũ đúng

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh