Chủ đề này có 1 trả lời

[VHTuan]

Cho P(x) là đa thức nguyên bậc 2 sao cho P(n) là số chính phương với mọi số tự nhiên n khác 0. Chứng minh rằng P(x) được viết dưới dạng bình phương của một nhị thức bậc nhất với các hệ số nguyên

[Hoang72]

Bài toán tổng quát ở đây.

Bài toán này có một cách khác.

Đặt $P(x) = ax^2+bx+c$.

Xét dãy $(u_n)$ xác định bởi $u_n = \sqrt{P(n)},\forall n\in\mathbb N^*$.

Thế thì $(u_n)\subset \mathbb N$.

Ta có $u_{n+1} - u_n = \sqrt{P(n+1)}-\sqrt{P(n)}=\frac{P(n+1) - P(n)}{\sqrt{P(n+1)} + \sqrt{P(n)}} = \frac{a(2n+1)+b}{\sqrt{a(n+1)^2 + b(n+1) + c} + \sqrt{an^2+bn+c}}$.

Lấy giới hạn ta có: $\lim_{n\to +\infty}(u_{n+1} - u_n) = \sqrt{a}$.

Suy ra $a$ là số chính phương. Đặt $a=d^2,d\in\mathbb N^*$.

Vì $(u_n)$ là dãy số nguyên nên $(u_{n+1} - u_n)$ cũng là dãy số nguyên, mà dãy này có giới hạn nguyên nên tồn tại $n_0\in\mathbb N^*$ mà: $$u_{n+1} - u_n = d,\forall n\geq n_0$$

$\Rightarrow u_n = u_{n_0} + (n-n_0)d = pn+q,\forall n\geq n_0\Rightarrow f(n) = (pn+q)^2,\forall n\geq n_0$.

Mà $f(n)$ là đa thức nên $f(n) = (pn+q)^2$. (đpcm)