Cho P(x) là đa thức nguyên bậc 2 sao cho P(n) là số chính phương với mọi số tự nhiên n khác 0. Chứng minh rằng P(x) được viết dưới dạng bình phương của một nhị thức bậc nhất với các hệ số nguyên
Chứng minh rằng P(x) được viết dưới dạng bình phương của một nhị thức bậc nhất với các hệ số nguyên
#1
Đã gửi 28-10-2022 - 21:38
#2
Đã gửi 29-10-2022 - 18:30
Bài toán tổng quát ở đây.
Bài toán này có một cách khác.
Đặt $P(x) = ax^2+bx+c$.
Xét dãy $(u_n)$ xác định bởi $u_n = \sqrt{P(n)},\forall n\in\mathbb N^*$.
Thế thì $(u_n)\subset \mathbb N$.
Ta có $u_{n+1} - u_n = \sqrt{P(n+1)}-\sqrt{P(n)}=\frac{P(n+1) - P(n)}{\sqrt{P(n+1)} + \sqrt{P(n)}} = \frac{a(2n+1)+b}{\sqrt{a(n+1)^2 + b(n+1) + c} + \sqrt{an^2+bn+c}}$.
Lấy giới hạn ta có: $\lim_{n\to +\infty}(u_{n+1} - u_n) = \sqrt{a}$.
Suy ra $a$ là số chính phương. Đặt $a=d^2,d\in\mathbb N^*$.
Vì $(u_n)$ là dãy số nguyên nên $(u_{n+1} - u_n)$ cũng là dãy số nguyên, mà dãy này có giới hạn nguyên nên tồn tại $n_0\in\mathbb N^*$ mà: $$u_{n+1} - u_n = d,\forall n\geq n_0$$
$\Rightarrow u_n = u_{n_0} + (n-n_0)d = pn+q,\forall n\geq n_0\Rightarrow f(n) = (pn+q)^2,\forall n\geq n_0$.
Mà $f(n)$ là đa thức nên $f(n) = (pn+q)^2$. (đpcm)
- perfectstrong, VHTuan và Toan0710 thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh