Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum_{d|n} f(d) = n$

- - - - - phương trình hàm trên n

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Saturina

Saturina

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 64 Bài viết

Kí hiệu $\mathbb {N}^{*}$ là tập hợp các số nguyên dương. Cho hàm số $f:\mathbb {N}^{*}\rightarrow \mathbb {N}^{*}$ thỏa mãn $f(1) =1$ và $\sum_{d|n} f(d) = n \, \forall n\in\mathbb {N}^{*}$

Tìm tất cả các hàm số $f$ như vậy?


$Em$ $đẹp$ $như$ $chiếc$ $cúp$ $Euro$ $2020$ $vậy$
$Vì$ $em$ $là$ $của$ $người$ $Ý$ $chứ$ $không$ $phải$ $Anh$ :(
:( :( 

 

$Thì$ $chả$ $thế$ $à$ $?$

 


#2
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Nhận xét đầu tiên là với một số nguyên tố $p$ bất kỳ, ta  có $f(p)=p-1$.

Tiếp theo là một chuỗi quy nạp:

1, $f(p^k)=p^{k-1}(p-1) \, \forall k$

2, $f(p^k q) = p^{k-1}(p-1)(q-1) \, \forall k$ và $q$ là một số nguyên tố khác $p$.

3, $f(p^k q^l) = p^{k-1}(p-1) q^{l-1}(q-1) \, \forall k,l$.

4, Cuối cùng là \[f(n)=f\left( {p_1^{{a_1}}p_2^{{a_2}}...p_m^{{a_m}}} \right) = \prod\limits_{i = 1}^m {p_i^{{a_i} - 1}\left( {{p_i} - 1} \right)} = \varphi(n) \]


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#3
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Một cách giải khác: Ta sẽ chứng minh $f$ là hàm nhân tính (không phải nhân tính hoàn toàn).

Thật vậy, ta sẽ chứng minh rằng: $f(a) . f(b) = f(ab)$, với mọi $a,b\in\mathbb N^*; (a,b) = 1$. $(*)$

Ta chứng minh quy nạp theo $a+b$.

Khi $a+b=2$ thì hiển nhiên.

Giả sử $(*)$ đúng với mọi cặp số nguyên dương nguyên tố cùng nhau $(a,b)$ mà $a+b\leq k$, $k\in\mathbb N^*\setminus \{1\}$ nào đó.

Ta chứng minh $(*)$ đúng với mọi $a,b\in\mathbb N^*$ thoả mãn $(a,b) = 1; a+b=k+1$.

Thật vậy, xét $(a,b)$ là một cặp như vậy.

Ta có: $\begin{cases} \displaystyle\sum_{d|a}f(d) = a \\ \displaystyle\sum_{d\mid b}f(d) = b\end{cases}\Rightarrow \sum_{d_1|a}f(d_1) . \sum_{d_2|b}f(d_2) = ab$

$\Rightarrow  \sum_{d_1|a}f(d_1) . \sum_{d_2|b}f(d_2)=\sum_{d|ab}f(d)$. $(*)$

Với mọi $d$ là ước của $ab$, do $(a,b)=1$, ta có duy nhất một cách viết $d$ dưới dạng $d = d_1d_2$, với $d_1,d_2\in\mathbb N^*$ thoả mãn $d_1\mid a; d_2\mid b$.

Khi $d < ab$ thì $d_1 < a$ hoặc $d_2 < b$, do đó $d_1+d_2 < a+b\Rightarrow d_1+d_2 \leq k$.

Theo giả thiết quy nạp thì $f(d_1)f(d_2) = f(d_1d_2)=f(d)$.

Do đó từ đẳng thức $(*)$, nhân chéo VT ra ta sẽ suy ra $f(a) . f(b) = f(ab)$.

Theo nguyên lí quy nạp ta có $(*)$ đúng nên $f$ là hàm nhân tính.

Hơn nữa, bằng quy nạp dễ dàng ta có $f(p^k)  = p^{k-1}(p-1) = \varphi(p^k)$ với mọi $p$ nguyên tố, $k\in\mathbb N^*$.

Mà $f$ là hàm nhân tính nên $f(n) = \varphi(n),\forall n\in\mathbb N^*$.

 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh