Chủ đề này có 4 trả lời

[Nobodyv3]

1/ Chứng tỏ rằng :
$$\binom{10}{6}+\binom{10}{5}+\binom{10}{5}+\binom{10}{4}=\binom{12}{6}$$
2/ Có bao nhiêu số hạng trong khai triển của $(1+x)^{2022}$ là số bội của $13$?

[chanhquocnghiem]

1/ Chứng tỏ rằng :
$$\binom{10}{6}+\binom{10}{5}+\binom{10}{5}+\binom{10}{4}=\binom{12}{6}$$
2/ Có bao nhiêu số hạng trong khai triển của $(1+x)^{2022}$ là số bội của $13$?

1) Áp dụng công thức $\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}=\binom{n}{k}$ ba lần, ta có :

    $\binom{10}{6}+\binom{10}{5}+\binom{10}{5}+\binom{10}{4}=\binom{11}{6}+\binom{11}{5}=\binom{12}{6}$.

 

2) Có phải ý của bạn là "có bao nhiêu HỆ SỐ trong khai triển của $(1+x)^{2022}$ là bội số của $13$", đúng không ?

[Nobodyv3]

1) Áp dụng công thức $\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}=\binom{n}{k}$ ba lần, ta có :
    $\binom{10}{6}+\binom{10}{5}+\binom{10}{5}+\binom{10}{4}=\binom{11}{6}+\binom{11}{5}=\binom{12}{6}$.
 
2) Có phải ý của bạn là "có bao nhiêu HỆ SỐ trong khai triển của $(1+x)^{2022}$ là bội số của $13$", đúng không ?

1/ Ngoài ra, đếm bằng 2 cách...
2/ Đúng vậy đó anh.

[chanhquocnghiem]

2/ Có bao nhiêu hệ số trong khai triển của $(1+x)^{2022}$ là bội số của $13$?

Các hệ số trong khai triển của $(1+x)^{2022}$ có dạng $C_{2022}^k$ với $k$ chạy từ $0$ đến $2022$. Ta có :

$C_{2022}^k=\frac{P_{2022}^k}{k!}=\frac{2022.2021.2020...(2023-k)}{1.2.3...k}$

Nhận xét rằng :

+ Vì số bé nhất lớn hơn $2022$ mà chia hết cho $13$ và $13^2$ là $2028$ nên $v_{13}\left ( P_{2022}^k \right )=\left \lfloor \frac{2028-(2023-k)}{13} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{2028-(2023-k)}{13^2} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{k+5}{13} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{k+5}{169} \right \rfloor$

+ $v_{13}\left ( k! \right )=\left \lfloor \frac{k}{13} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{k}{169} \right \rfloor$

Từ đó suy ra $C_{2022}^k\ \vdots \ 13\Leftrightarrow v_{13}\left ( P_{2022}^k \right )> v_{13}\left ( k! \right )\Leftrightarrow k\equiv t\ (\mod\ 13)$ với $t\in \left \{ 8,9,10,11,12 \right \}$

Số giá trị của $k$ (từ $0$ đến $2022$) thỏa mãn điều đó là $5.\left \lfloor \frac{2022}{13} \right \rfloor=775$.

Vậy có $775$ hệ số (trong khai triển đó) là bội số của $13$.
 

[Nobodyv3]

2/Xin trình bày 1 cách tiếp cận khác :
Trước hết, đổi $2022=BC7_{13}$
Từ định lý Kummer (các bạn có thể tham khảo trên mạng) ta suy ra số các hệ số $\binom {2022}{k}$ không chia hết cho $13$ là số các số trong phép tính cộng trong hệ cơ số $13$ sau đây
$$k+(BC7_{13}-k)=BC7_{13}$$
mà không tạo ra các số nhớ.
Ta đếm các số này.
Hàng $13^2$, từ 0 - B: có 12 chữ số.
Hàng $13^1$, từ 0 - C: có 13 chữ số.
Hàng $13^0$, từ 0 - 7: có 8 chữ số.
Vậy số các hệ số không chia hết cho 13 là :
$12\cdot13\cdot8=1248$
Do đó số các hệ số của các số hạng trong khai triển $(1+x)^{2022}$ là bội số của 13 là :
$2023-1248=\boldsymbol {775}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 04-11-2022 - 19:57