Chủ đề này có 1 trả lời

[Matthew James]

Biết rằng khi chia đa thức $P(x)$ cho các đa thức $x+1,x^2+1$ ta được các đa thức dư tương ứng là $-3$ và $x+1$. Tìm đa thức dư trong phép chia $P(x)$ cho $(x+1)(x^2+1)$.

[perfectstrong]

Đặt \[P\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)Q\left( x \right) + a{x^2} + bx + c\]

Từ giả thiết, ta có một số điểm "đặc biệt" cần chú ý. Đó là các nghiệm, thực lẫn phức, của hai đa thức chia $x+1$ và $x^2+1$.

\[\left\{ \begin{array}{l}
P\left( { - 1} \right) = a - b + c =  - 3\\
P\left( i \right) =  - a + bi + c = 1 + i\\
P\left( { - i} \right) =  - a - bi + c = 1 - i
\end{array} \right.\]

Giải hpt này, ta thu được $\left( {a,b,c} \right) = \left( { - \frac{3}{2},1, - \frac{1}{2}} \right)$. Từ đó ta có phép dư khi chia $P(x)$ cho $(x+1)(x^2+1)$ là $- \frac{3}{2}{x^2} + x - \frac{1}{2}$.

 

Còn nếu muốn tránh dùng số phức thì có thể dùng đồng nhất thức như sau: thay $x=-1$ để có $a-b+c=-3$, suy ra $c=b-a-3$. Thay vào lại $P(x)$, ta có:

\[P\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)Q\left( x \right) + a{x^2} + bx + b - a - 3\]

Chú ý phần dư khi chia cho $x^2+1$:

\[a{x^2} + bx + b - a - 3 = a\left( {{x^2} + 1} \right) + bx + b - 2a - 3\]

Theo giả thiết:

\[bx + b - 2a - 3 \equiv x + 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 1\\
b - 2a - 3 = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 1\\
a = \frac{{ - 3}}{2}
\end{array} \right.\]