Chủ đề này có 1 trả lời

[Matthew James]

Cho đa thức $P(x)=x^3-3x+1$ có ba nghiệm $x_{1},x_{2},x_{3}$ và đa thức $Q(x)=x^2-5x+6$. Tính giá trị của $Q(x_{1})Q(x_{2})Q(x_{3})$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Matthew James: 06-11-2022 - 22:58

[perfectstrong]

Bạn muốn tính $Q(x_1)Q(x_2)Q(x_3)$ à? Chứ nếu đổi đánh số thì chưa chắc $Q(x_1)$ đã cố định.

 

Xét trường hợp tổng quát $Q(x)=(x-a_1)(x-a_2)$ với $a_1,a_2$ là hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt) của $Q(x)$.

\[\begin{align*}
Q\left( {{x_1}} \right)Q\left( {{x_2}} \right)Q\left( {{x_3}} \right) & = \left( {{x_1} - {a_1}} \right)\left( {{x_1} - {a_2}} \right)\left( {{x_2} - {a_1}} \right)\left( {{x_2} - {a_2}} \right)\left( {{x_3} - {a_3}} \right)\left( {{x_3} - {a_3}} \right)\\
 &= \left[ {\left( {{x_1} - {a_1}} \right)\left( {{x_2} - {a_1}} \right)\left( {{x_3} - {a_1}} \right)} \right]\left[ {\left( {{x_1} - {a_2}} \right)\left( {{x_2} - {a_2}} \right)\left( {{x_3} - {a_2}} \right)} \right]\\
 &= \left[ { - P\left( {{a_1}} \right)} \right]\left[ { - P\left( {{a_2}} \right)} \right]\\
 &= P\left( {{a_1}} \right)P\left( {{a_2}} \right)
\end{align*}\]

Bài toán ban đầu cho ta $a_1=2,a_2=3$, thế vào thì ta có:

\[Q\left( {{x_1}} \right)Q\left( {{x_2}} \right)Q\left( {{x_3}} \right) = P\left( 2 \right)P\left( 3 \right) = 3 \times 19 = 57\]

 

Tổng quát hơn, cho $P,Q$ là hai đa thức bậc $n,m$ có hệ số cao nhất bằng 1. $P$ có $n$ nghiệm $x_1,x_2,\ldots,x_n$ và $Q$ có $m$ nghiệm $y_1,y_2,\ldots,y_m$, thì:

\[\prod\limits_{i = 1}^n {Q\left( {{x_i}} \right)}  = {\left( { - 1} \right)^m}\prod\limits_{i = 1}^m {P\left( {{y_i}} \right)} \]