a/ Không chữ cái nào chiếm 4 vị trí liên tiếp
b/ Không chữ cái nào chiếm 3 vị trí liên tiếp.
c/ Không chữ cái nào chiếm 2 vị trí liên tiếp.
(Edited)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 11-11-2022 - 08:58
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 11-11-2022 - 08:58
Có bao nhiêu cách xếp $a,a,a,a,b,b,b,b,c,c,c,c$ sao cho:
a/ Không chữ cái nào chiếm 4 vị trí liên tiếp
a) Số cách sắp xếp ngẫu nhiên $12$ chữ cái đã cho là $M=\frac{12!}{(4!)^3}=\frac{12!}{24^3}$.
Gọi $M_k$ là số cách sắp xếp sao cho có ít nhất $k$ loại chữ cái chiếm $4$ vị trí liên tiếp. Ta tính $M_k$ theo cách sau :
- Chọn $k$ loại chữ cái trong số $3$ loại chữ cái : $C_3^k$ cách.
- Với mỗi loại chữ cái (trong $k$ loại đã chọn), ta ghép $4$ chữ cái giống nhau, xem như $1$ chữ cái đặc biệt. Như vậy, từ $12$ chữ cái ban đầu, nay chỉ còn $12-3k$ chữ cái
- Sắp xếp ngẫu nhiên $12-3k$ chữ cái đó : Có $\frac{(12-3k)!}{(4!)^{3-k}}=\frac{24^k(12-3k)!}{24^3}$ cách
$\Rightarrow M_k=C_3^k\ \frac{24^k(12-3k)!}{24^3}$
Và số cách sắp xếp thỏa mãn điều kiện đề bài là
$M-M_1+M_2-M_3=\frac{12!}{24^3}+\sum_{k=1}^{3}C_3^k\frac{(-1)^k24^k(12-3k)!}{24^3}=\frac{1}{24^3}\sum_{k=0}^{3}C_3^k(-24)^k(12-3k)!=32844$.
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 08-11-2022 - 01:08
Có bao nhiêu cách xếp $a,a,a,a,b,b,b,b,c,c,c,c$ sao cho:
b/ Không chữ cái nào chiếm 3 vị trí liên tiếp.
Gọi $S_k$ là số cách sắp xếp sao cho có ít nhất $k$ loại chữ cái chiếm $3$ vị trí liên tiếp. Ta tính $S_k$ theo cách sau :
- Chọn $k$ loại chữ cái trong số $3$ loại chữ cái : $C_3^k$ cách.
- Với mỗi loại chữ cái (trong $k$ loại đã chọn), ta ghép $3$ chữ cái giống nhau, xem như $1$ chữ cái đặc biệt. Như vậy, từ $12$ chữ cái ban đầu, nay chỉ còn $12-2k$ chữ cái. Ta gọi 2 chữ cái, ví dụ $a$ và $aaa$ là 2 chữ cái liên hợp. Nếu chúng nằm cạnh nhau thì gọi là cặp chữ cái liên hợp. Sắp xếp ngẫu nhiên $12-2k$ chữ cái đó.
Số cách để có ít nhất $j$ cặp chữ cái liên hợp nào đó là $M_j=\frac{2^j(12-2k-j)!}{24^{3-k}}$
$\Rightarrow S_k=C_3^k\sum_{j=0}^{k}(-1)^jC_k^j\frac{M_j}{2^j}=\frac{C_3^k}{24^{3-k}}\sum_{j=0}^{k}(-1)^jC_k^j(12-2k-j)!$
$\Rightarrow$ đáp án bài toán là $\frac{12!}{24^3}+\sum_{k=1}^{3}(-1)^kS_k=\frac{1}{24^3}\sum_{k=0}^{3}C_3^k(-24)^k\left [ \sum_{j=0}^{k}C_k^j(-1)^j(12-2k-j)! \right ]=21084$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 08-11-2022 - 22:24
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
Có bao nhiêu cách xếp $a,a,a,a,b,b,b,b,c,c,c,c$ sao cho:
c/ Không chữ cái nào chiếm 2 vị trí liên tiếp.
Một cách sắp xếp không thỏa mãn khi có chứa một "từ con" thuộc $\left \{ aa,bb,cc \right \}$.
$m_1=m_2=m_3=2$ ; $n_1=n_2=n_3=4$
$p_{2,4}(t)=\left [ x^4 \right ]\exp\left [ \frac{t(x-x^2)}{1-x^2} \right ]=\frac{t^4}{24}-\frac{t^3}{2}+\frac{3t^2}{2}-t$
Số cách sắp xếp thỏa mãn là :
$\int_{0}^{\infty}e^{-t}\left ( \frac{t^4}{24}-\frac{t^3}{2}+\frac{3t^2}{2}-t \right )^3dt=1092$.
--------------------------------------------------------------------
Bài này liệu có thể giải theo cách truyền thống được không nhỉ ? Bạn nào có nhã hứng thử nghĩ xem !
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
- Wow, nhạy quá hen!Một cách sắp xếp không thỏa mãn khi có chứa một "từ con" thuộc $\left \{ aa,bb,cc \right \}$.
$m_1=m_2=m_3=2$ ; $n_1=n_2=n_3=4$
$p_{2,4}(t)=\left [ x^4 \right ]\exp\left [ \frac{t(x-x^2)}{1-x^2} \right ]=\frac{t^4}{24}-\frac{t^3}{2}+\frac{3t^2}{2}-t$
Số cách sắp xếp thỏa mãn là :
$\int_{0}^{\infty}e^{-t}\left ( \frac{t^4}{24}-\frac{t^3}{2}+\frac{3t^2}{2}-t \right )^3dt=1092$.
--------------------------------------------------------------------
Bài này liệu có thể giải theo cách truyền thống được không nhỉ ? Bạn nào có nhã hứng thử nghĩ xem !
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 11-11-2022 - 15:47
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh