Chủ đề này có 1 trả lời

[Matthew James]

Chứng minh a=b=c

Hình gửi kèm

• 

[Hoang72]

Không mất tính tổng quát giả sử $a\leq b\leq c$.

Đặt $x = b-a; y = c-b$ thì $a -c = x+y$. Ta có $x,y\in\mathbb N$.

Ta có $\frac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{2}=\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{4} = \frac{x^2+y^2+(x+y)^2}{4}=\frac{x^2+y^2+xy}{2}$.

Do đó suy ra $\frac{x^2+y^2+xy}{2}$ là số chính phương hay $2(x^2+y^2+xy)$ là số chính phương.

Giả sử tồn tại $x,y>0$ sao cho $2(x^2+y^2+xy)$ là số chính phương.

Chọn cặp $(x_0,y_0)$ có tổng nhỏ nhất thoả mãn điều kiện trên.

Ta có $2(x_0^2+y_0^2+x_0y_0)$ là số chẵn mà là số chính phương nên $4\mid 2(x_0^2+y_0^2+x_0y_0)$

$\Rightarrow 2\mid x_0^2 + x_0y_0+y_0^2\Rightarrow 2\mid x_0,y_0$.

Đặt $x_0 = 2x_1, y_0 = 2y_1$ với $x_1,y_1\in\mathbb N^*$

Thế thì $x_1+y_1 < x_0+y_0$ và $8(x_1^2 + y_1^2 + x_1y_1)$ là số chính phương $\Rightarrow 2(x_1^2+y_1^2+x_1y_1)$ là số chính phương.

Điều này mâu thuẫn với cách chọn $(x_0,y_0)$.

Do đó một trong hai số $x,y$ bằng $0$.

Nếu $x=0$ thì $2y^2$ là số chính phương $\Rightarrow y=0\Rightarrow a=b=c$.

Nếu $y=0$ thì tương tự cũng có $a=b=c$.

Vậy $a=b=c$.