Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \cos A+\sum \cot A \geq \dfrac{3}{2} + \sqrt{3}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
$\sum \cos A+\sum \cot A \geq \dfrac{3}{2} + \sqrt{3}$

#2
Moon Loves Math

Moon Loves Math

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 42 Bài viết

Đặt $S=\sum{\cos{A}}+\sum{\cot{A}}$

Xét tam giác $\Delta ABC$.

+) Nếu $\Delta ABC$ nhọn, ta có:

Xét hàm $f(t)=\cos(t)+\cot(t)$ trên $\left (0,\frac{\pi}{2} \right )$

Có: $f'(t)=-\sin(t)-\frac{1}{\sin^2(t)}<0$

Và $f'(t)=-\cos(t)+\frac{2\cos(t)}{\sin^3(t)}>0$

Nên $f(t)$ là hàm lõm trên $\left (0,\frac{\pi}{2} \right )$.

Áp dụng BĐT Jensen, ta được:

$S=\sum{\cos{A}}+\sum{\cot{A}}=f(A)+f(B)+f(C)\geq3f\left ( \frac{A+B+C}{3} \right )=3f\left (\frac{\pi}{3}\right )=\frac{3}{2}+\sqrt{3}$

+) Nếu $\Delta ABC$ vuông hoặc tù, ta sẽ đi chứng minh $S>\frac{3}{2}+\sqrt{3}$.

Giả sử $A\leq B<C$, có: $A\leq \frac{\pi}{4}$ và $C\geq \frac{\pi}{2}$

Do $C\in \left [ \frac{\pi}{2},\pi \right )$ nên $f(C)=-f(\pi-C)=-f(A+B) \quad (\ast)$

Theo định lý Lagrange: $f(A+B)-f(B)=f'(c)(A)$ với $c\in (B, A+B)$.

Mặt khác, khảo sát hàm số $f'(t)$ trên $\left (0,\frac{\pi}{2} \right ), có: f'(t)\leq -2$.

Kết hợp với $(B, A+B)\subset \left ( 0, \frac{\pi}{2} \right )$, suy ra: $f(A+B)-f(B)\leq -2(A)$.

Hay $f(B)\geq f(A+B)+2A \quad (\ast\ast).$

Từ $(\ast)$ và $(\ast\ast)$, ta có biến đổi sau:

$S=f(A)+f(B)+f(C)$

$=f(A)+f(B)-f(A+B)$

$\geq f(A)+f(A+B)+2A-f(A+B)$

$=f(A)+2A$

Cuối cùng, với hàm $g(t)=f(t)+2t$ thì $g'(t)=f'(t)+2<-2+2=0$.

Hay $g(t)$ nghịch biến trên $\left (0,\frac{\pi}{2} \right ).$

Do $A\leq \frac{\pi}{4}$ nên $S\geq f(\frac{\pi}{4})+2\frac{\pi}{4}>\frac{3}{2}+\sqrt{3}$.

Vậy trong cả hai trường hợp, ta đều thu được đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$ đều.

 






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh