$\sum \cos A+\sum \cot A \geq \dfrac{3}{2} + \sqrt{3}$
#1
Đã gửi 10-11-2022 - 08:19
$\sum \cos A+\sum \cot A \geq \dfrac{3}{2} + \sqrt{3}$
#2
Đã gửi 16-01-2023 - 12:57
Đặt $S=\sum{\cos{A}}+\sum{\cot{A}}$
Xét tam giác $\Delta ABC$.
+) Nếu $\Delta ABC$ nhọn, ta có:
Xét hàm $f(t)=\cos(t)+\cot(t)$ trên $\left (0,\frac{\pi}{2} \right )$
Có: $f'(t)=-\sin(t)-\frac{1}{\sin^2(t)}<0$
Và $f'(t)=-\cos(t)+\frac{2\cos(t)}{\sin^3(t)}>0$
Nên $f(t)$ là hàm lõm trên $\left (0,\frac{\pi}{2} \right )$.
Áp dụng BĐT Jensen, ta được:
$S=\sum{\cos{A}}+\sum{\cot{A}}=f(A)+f(B)+f(C)\geq3f\left ( \frac{A+B+C}{3} \right )=3f\left (\frac{\pi}{3}\right )=\frac{3}{2}+\sqrt{3}$
+) Nếu $\Delta ABC$ vuông hoặc tù, ta sẽ đi chứng minh $S>\frac{3}{2}+\sqrt{3}$.
Giả sử $A\leq B<C$, có: $A\leq \frac{\pi}{4}$ và $C\geq \frac{\pi}{2}$
Do $C\in \left [ \frac{\pi}{2},\pi \right )$ nên $f(C)=-f(\pi-C)=-f(A+B) \quad (\ast)$
Theo định lý Lagrange: $f(A+B)-f(B)=f'(c)(A)$ với $c\in (B, A+B)$.
Mặt khác, khảo sát hàm số $f'(t)$ trên $\left (0,\frac{\pi}{2} \right ), có: f'(t)\leq -2$.
Kết hợp với $(B, A+B)\subset \left ( 0, \frac{\pi}{2} \right )$, suy ra: $f(A+B)-f(B)\leq -2(A)$.
Hay $f(B)\geq f(A+B)+2A \quad (\ast\ast).$
Từ $(\ast)$ và $(\ast\ast)$, ta có biến đổi sau:
$S=f(A)+f(B)+f(C)$
$=f(A)+f(B)-f(A+B)$
$\geq f(A)+f(A+B)+2A-f(A+B)$
$=f(A)+2A$
Cuối cùng, với hàm $g(t)=f(t)+2t$ thì $g'(t)=f'(t)+2<-2+2=0$.
Hay $g(t)$ nghịch biến trên $\left (0,\frac{\pi}{2} \right ).$
Do $A\leq \frac{\pi}{4}$ nên $S\geq f(\frac{\pi}{4})+2\frac{\pi}{4}>\frac{3}{2}+\sqrt{3}$.
Vậy trong cả hai trường hợp, ta đều thu được đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$ đều.
- perfectstrong, nhungvienkimcuong và Hoang72 thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh